必修2第二章知识点和例题(含答案)

2.1.1平面1.平面：平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念）。平面的基本特征是无限延展性。2.平面的画法及表示（1）平面的画法：平面通常画成平行四边形，平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图1。如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图2.图1图2（2）平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图3)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图4）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图4）.图3图43.点与平面的关系及其表示方法（平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.）点A在平面α内，记作：A点B在平面α外，记作：B4.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为AlBllAB作用：判断直线是否在平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.符号表示为：A、B、C三点不共线=有且只有一个平面，使A∈α、B∈α、C∈α作用：确定一个平面的依据.3个推论：推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号表示为：P∈α∩β=α∩β=L，且P∈L作用：判定两个平面是否相交的依据课堂练习1.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？2求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.3.在正方体1111ABCDABCD中，（1）1AA与1CC是否在同一平面内？（2）点1,,BCD是否在同一平面内？（3）画出平面1AC与平面1BCD的交线，平面1ACD与平面1BDC的交线.解：（1）在正方体1111ABCDABCD中，∵11//AACC，∴由公理2的推论可知，1AA与1CC可确定平面1AC，∴1AA与1CC在同一平面内.（2）∵点1,,BCD不共线，由公理3可知，点1,,BCD可确定平面1BCD，∴点1,,BCD在同一平面内.（3）∵ACBDO，11DCDCE，∴点O平面1AC，O平面1BCD，又1C平面1AC，1C平面1BCD，∴平面1AC平面1BCD1OC，同理平面1ACD平面1BDCOE．4.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.解：如图13,∵A、B、C是不在同一直线上的三点,∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α=P，且ABβ,∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,同理可证：Q∈l,R∈l,∴P、Q、R三点共线.2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1.空间中两条直线的位置关系共面直线相交：同一平面内，有且只有一个公共点平行：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2.异面直线（1）概念：不同在任何一个平面内的两条直线.（2）判断：下列各图中直线l与m是异面直线吗?（3）画法：用一个或两个平面衬托（4）辨析①空间中没有公共点的两条直线是异面直线.②分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线.③不同在某一平面内的两条直线是异面直线.④平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线.llmmmllmmllmmllmmllmmmllmmllmmlmlmlmllmmlmllmm图13⑤既不相交，又不平行的两条直线是异面直线.注意：判断异面直线的关键：既不相交，又不平行.3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线//////abacbc注：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间此性质都适用；公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.4.异面直线所成的角（1）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（2）异面直线a、b所成的角：在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.（3）异面直线所成的角的范围：(0,90]，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作ab.注：如果两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条异面直线互相垂直,记为a⊥b；在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)。求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.课堂练习1.直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线?2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。（3）哪些棱所在的直线与直线A1B垂直．3.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD中点,且EF=5,又AD=6,BC=8.求AD与BC所成角的余弦值.4.如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°，∴AB1和CC1所成的角是45°.（2）如图，连结DA1、A1C1，∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.∵ΔA1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1=60º，即直线AB1和EF所成的角是60º.5.如图，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=22AD，求异面直线AD和BC所成的角.BCADEFD1C1B1A1CABD16.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交7.若a和b异面，b和c异面，则（）A.a∥cB.a和c异面C.a和c相交D.a与c或平行或相交或异面7.设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin∠EHG=312，求AB和CD所成的角.解：由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，∴∠EHG就是异面直线AB和CD所成的角.由题意可知EFGH是平行四边形，HG=2621AB，HE=3221CD，∴HG·HE·sin∠EHG=612sin∠EHG.∴612sin∠EHG=312.∴sin∠EHG=22.故∠EHG=45°.∴AB和CD所成的角为45°.2.1.3、2.1.4直线与平面、平面与平面的位置关系1．直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点aαa∩α=Aa∥α2．两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线ABDCEF直线在平面外aαα∥βα∩β=L注：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.课堂练习1.若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是(D)A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线2.若直线aα,则下列结论中成立的个数是(A)(1)α内的所有直线与a异面(2)α内的直线与a都相交(3)α内存在唯一的直线与a平行(4)α内不存在与a平行的直线A.0B.1C.2D.33.若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.4.已知a,b,c为三条不重合的直线，，为两个不重合的平面。则正确的是①a∥b,b∥ca∥b②a∥β,b∥βa∥b③a∥c,∥ca∥④a∥β,a∥∥β5.下列命题中正确的个数是（）⑴若直线L上有无数个点不在平面内，则L∥，(2)若直线L与平面平行，则L与平面内的任意一条直线都平行，(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行，(4)若直线L与平面平行，则L与平面内任意一条直线都没有公共点（A）0(B)1(C)2(D)36.已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b=P.求证：a与β相交,b与α相交.证明：如图14,∵a∩b=P,∴P∈a,P∈b.又bβ,∴P∈β.∴a与β有公共点P,即a与β相交.同理可证,b与α相交.7.已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβ且c∥a,求证：b、c是异面直线.证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交.(1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾.(2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.∴ABβ,即bβ.这与b∩β=A矛盾.∴b,c是异面直线.αβαβL