小波分析结题报告

结题报告作业名称：小波变换用于图像边缘检测课程名称：小波分析学号：姓名：1绪论图像边缘具有非常重要的意义，它是人类判别物体的重要依据，是图像最基本的特征之一，往往携带了图像的大部分信息。边缘检测是图像处理、计算机视觉和模式识别等的重要研究问题。例如，在遥感图像处理中，边缘检测用来提取人们所需要的信息与特征参量；在生物医学工程中，边缘检测用来进行细胞分类，以及CT与核磁共振图像的分析；在工业生产中，边缘检测又用于对零部件进行选取、分类，或者检测裂纹等；在国防工业中，边缘检测在自动导航和目标跟踪识别中也起到重要作用。由于算法、设备等各种原因，图像总存在和边缘点频率相近的噪声，使得提取出来的图像边缘总是存在伪检或漏检的问题。如何提高边缘检测的精度使得边缘检测算法具有更高的信噪比是图像处理的经典难题。经典的边缘检测算子有Roberts边缘检测算子、Sobel边缘检测算子、Prewitt边缘检测算子、Kirsch边缘检测算子、零交叉边缘检测算子、差分边缘检测算子等。随着计算机硬件技术的发展，显示器的分辨率越来越高，必然引起边缘灰度变化带的减小。图像的边缘总是产生在不同的尺度范围内，形成不同的边缘，而在图像处理之前这些信息是未知的。传统的边缘检测是没有自动变焦功能的，不可能完全检测出图像的真正边缘。随图像处理的发展和技术研究的进步，又有了许多新的边缘检测的算子：Canny边缘检测、小波边缘检测等等。小波理论具有良好的视频局部化特性，因而在图像降噪领域得到了广泛地应用。图像经过小波变化以后，边缘等起一点的小波系数幅值较大，而平稳区域的小波系数幅值较小。因此图像的边缘可以在相应的位置用较大的小波系数来表征，而在降噪时对这些边缘点有所回避，从而达到降噪和保护边缘的目的。而传统的低通滤波的方法，在降噪的同时使图像的边缘模糊。2小波变化实现多尺度边缘检测2.1原理通常，沿边缘走向的幅度变化平缓，垂直于边缘走向的幅度变化剧烈。并且因为物体图像的大小不一，它们的边缘有不同尺寸。边缘点的Lipschitz正则性取决于尺度细化过程中模极大值衰减的速度。在二维情况下，边缘检测算法通过计算图像信号(,)fxy的梯度矢量（2.1）的(,)fffxy（2.1）模的局部极大值来寻找图像边缘的空间位置。梯度矢量的方向指出了图像灰度值变化最快的方向。为了计算图像信号的两个偏导数fx，fy，需要两个有方向性的二维小波，他们分别是二维平滑函数(,)xy的偏导数，如式（2.2），（2.3）。(,)(,)xxyxyx（2.2）(,)(,)yxyxyy（2.3）(,)xy在xy平面的积分为1，并且很快地收敛到0。令(,)2(2,2)xjxjjjxyxy（2.4）(,)2(2,2)yjyjjjxyxy（2.5）并定义小波变换的两个分量(2,,)((,),(,))*(,)xjxxjjWfxyfuvuxvyfxy（2.6）(2,,)((,),(,))*(,)yjyyjjWfxyfuvuxvyfxy（2.7）其中(,)(,)xxjjxyxy（2.8）(,)(,)yyjjxyxy（2.9）任意2fR的二进制小波变换定义为（2.10）式函数族(2,,){(2,,),(2,,)}jxjyjjZWfxyWfxyWfxy（2.10）为确保二进制小波变换的完备性和稳定性，必须满足的充分必要条件是：存在两个正常数A和B，对2(,){(0,0)}xywwR使22ˆˆ(2,2)(2,2)xjjyjjxyxyjA（2.11）式（2.11）中ˆx和ˆy分别表示x和y的二维傅里叶变换。满足式（2.11）的{,}xy即为二进小波，存在重构小波{,}xy，其傅里叶变换满足2**ˆˆˆˆ2[(2,2)(2,2)(2,2)(2,2)]1jxjjxjjyjjyjjxyxyxyxyj（2.12）因此2(,)2[(2,,)*(,)(2,,)*(,)]jxjxyjyjjjfxyWfxyxyWfxyxy（2.13）由于{,}xy是平滑函数(,)xy的一阶偏导数，所以二维二进小波变换的两个分量等价于信号(,)fxy被平滑后的梯度矢量的两个分量，即(,)(,)(2,,)22(,)(,)(2,,)(,)(,)xjjjjjyjjfxyxyWfxyxgradfxyxyWfxyfxyxyy（2.14）梯度矢量(,)(,)jgradfxyxy的模正比于22(2,,)(2,,)(2,,)jxjyjMfxyWfxyWfxy（2.15）梯度矢量与水平方向的夹角为1(2,,)(2,,)tan(2,,)yjjxjWfxyAfxyWfxy（2.16）用二进小波变换实现多尺度边缘检测即为寻找(2,,)jMfxy的局部极大值，(2,,)jAfxy给出了边缘的方向。2.2算法思路读取原始图像设置样条滤波器系数设置分解级数J，逼近和x，y方向的二进小波系数及梯度绝对值数组清零进行第一级分解并显示进行第2~J+1级分解并显示2.3matlab仿真结果与分析（a）原始图像（b）第1级小波变换边缘检测（c）第2级小波变换边缘检测（d）第3级小波变换边缘检测图2.3.1小波变换边缘检测结果在进行图像边缘检测时，最关心的是小波变换的模，所以上面的结果是计算的小波变换的模。由图2.3.1所示，第一级小波变换边缘检测显示出了图像的边缘和纹理，第二、三级小波变换边缘检测则逐渐平滑掉了图像中细致的纹理结构，而主要显示出图像的边缘。3结论随着小波理论体系的不断完善，小波变换在实际中的应用越来越广泛。图像边缘检测是图像处理领域中一个非常重要的课题，小波的多尺度特性在图像边缘检测应用中倍受青睐。在图像边缘检测中，物件和漏检的问题一直没有得到完全解决，这需要不断学习，不断进行改善。研究小波函数的特性，深入探究针对具体问题时如何选择最佳小波函数对图像进行边缘检测是非常必要的。