小波去噪文献综述

图像去噪处理1.1小波去噪在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在有小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原图像的最佳逼近，以完成原图像和噪声的区分。这个问题可以表述为：soptffminarg代表最优解optffoptopt为噪声图像为原图像nsnsfffff,,JjJjspanWffI212,，为实际图像的函数空间影射为WIT由此可见，小波去噪方法也就是寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原图像的最佳恢复。从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上优于传统的低通滤波器。由此可见，小波实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其等效框图如图1-2所示。图1-1小波去噪的等效框图1.1.1小波变换理论基础1.连续小波变换设RLt2，其傅里叶变换为w，当w满足允许条件(完全重构条件)：Rd^(1-1)时，我们称w为一个基本小波或母小波(MotherWavelet)。它说明了基本小波在其频域内具有较好的衰减性。其中，当0w时，有w=0，即0dtt同时有0。因此，一个允许的基本小波的幅度频谱类似于带通滤波器的传递函数。事实上，任何均值为零(即0dtt)且在频率增加时以足够快的速度消减为零(空间局域化特征)的带通滤波器的冲激响应(传递函数)，都可以作为一个基本小波。将母函数t经过伸缩和平移后得到：0;,,1,aRbaabtatba其中(1-2)称其为一个小波序列。其中a为伸缩因子，b为平移因子。通常情况下，基本小波t以原点为中心，因此tba,是基本小波t以bt为中心进行伸缩得到。基本小波t被伸缩为at(1a时变宽，而1a时变窄)可构成一组基函数。在大尺度a上，膨胀的基函数搜索大的特征，而对于较小的a则搜索细节特征。对于任意的函数RLtf2的连续小波变换为：dtabttfafbaWRbaf2,,,(1-3)当此小波为正交小波时，其重构公式为：dadbabtbaWaCtff,112(1-4)在小波变换过程中必须保持能量成比例，即dxxfCdbbaWadaRRfR222,(1-5)由于基小波t生成的小波tba,在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以t还应该满足一般函数的约束条件：dtt(1-6)故w^是一个连续函数，这意味着，为了满足重构条件式(3-2)，w^在原点必须等于零，即00^dtt(1-7)此即说明t具有波动性。为了使信号重构的实现上是稳定的，除了满足重构条件外，还要求t的傅立叶变换满足如下稳定性条件：BwAj2^2(1-8)式中，BA0。连续小波变换具有以下重要性质：（1）线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。（2）平移不变性：若tf的小波变换为baWf,，则tf的小波变换为baWf,。（3）伸缩共变性：若tf的小波变化为baWf,，则ctf的小波变换为),(1cbcaWcf，0c（4）自相似性：对应于不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似性的。（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度〔redundancy〕，小波变换的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：①由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说，信号tf的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。②小波变换的核函数即小波函数tba,存在许多可能的选择(例如，它们可能是非正交小波，正交小波，双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。小波的选择并不是任意的，也不是唯一的。它的选择应满足定义域是紧支撑的(CompactSupport)，即在一个很小的区间之外，函数值为零，函数应有速降特性，以便获得空间局域化。另外，它还要满足平均值为零。也就是说，小波应具有振荡性，而且是一个迅速衰减的函数。连续小波变换式(3-4)是用内积来表示的，而数学上的内积表示tf与tba,的相似程度，所以由式(3-4)，当尺度a增加时，表示以伸展了的tba,波形去观察整个tf；反之，当尺度a减小时，则以压缩的tba,波形去衡量tf局部。可以说，尺度因子类似于地图中的比例因子，大的比例(尺度)参数看全局而小的比例(尺度)参数看局部细节。因此，有人对小波变换特性作如下形象比喻：人们希望既看到森林，又看清树木。所以，先通过望远镜看清全貌，进而通过显微镜观察我们最感兴趣的细节。小波变换就能达到这个目的，它既是望远镜，又是显微镜，是一架变焦镜头。2.离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。因此有必要讨论连续小波tba,）和连续小波变换baWf,的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数b的，而不是针对时间t的。这一点与我们以前的习惯不同。在公式(3-3)中，a,b∈R;a≠0是容许的。为方便起见，在离散化中，总限制a只取正值。通常，把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散化公式分别取作jjbbaa00,，这里Zj，扩展步长10a是固定值，为方便起见，总是假定10a。所以对应的离散小波函数tkj,即可写作：000000,11kbtaaabkatatjjojkj(1-9)而离散化小波变换系数则可表示为：0,,,.kjkjkjfdtttfC(1-10)其重构公式为：tCCtfkjkj,,(1-11)C是一个与信号无关的常数。如何选择0a和0b，才能保证重构信号的精度呢?显然，网络点应尽可能密(即0a和0b尽可能的小)，因为如果网络点越稀疏，使用的小波函数tkj,和离散小波系数kjC,就越少，信号重构的精确度也就会越低。由于图像是二维信号，因此首先需要把小波变换由一维推广到二维。令21,xxf表示一个二维信号，21,xx分别是其横坐标和纵坐标，21,xx表示二维的基本小波，对应的尺度函数为21,xx。若尺度函数可分离，即：2121,xxxx。令1x是与1x对应的一维小波函数，则二维的二进小波可表示为以下三个可分离的正交小波基函数：21211,xxxx（1-12）21212,xxxx（1-13）21213,xxxx（1-14）这说明在可分离的情况下，二维多分辨率可分两步进行。先沿1x方向分别用1x和2x做分析，把21,xxf分解成平滑和细节两部分，然后对这两部分再沿2x方向用2x和1x做同样分析，所得到的四路输出中经1x，2x处理所得的一路是第一级平滑逼近211,xxfA，其它三路输出2111,xxfD，2121,xxfD，2131,xxfD都是细节函数。如果把1x和1x的对应频谱w，w设想成理想的半带低通滤波器h和高通滤波器g，则211,xxfA反映的是1x,2x两个方向的低频分量，2111,xxfD反映的是水平方向的低频分量和垂直方向的高频分量，2121,xxfD反映的是水平方向的高频分量和垂直方向的低频分量，2131,xxfD反映的是两个方向的高频分量。对图像进行小波变换就是用低通滤波器h和高通滤波器g对图像的行列进行滤波（卷积），然后进行二取一的下抽样。这样进行一次小波变换的结果便将图像分解为一个低频子带（水平方向和垂直方向均经过低通滤波）LL和三个高频子带，即用HL表示水平高通、垂直低通子带，用LH表示水平低通、垂直高通子带，用HH表示水平高通、垂直高通子带。分辨率为原来的1/2，频率范围各不相同。第二次小波变换时只对LL子带进行，进一步将LL子带分解为1LL，1LH，1HL和1HH，分辨率为原来的1/4,频率范围进一步减半，以此类推。所以，进行一次小波变换得到4个子带，进行M次分解就得到3M+1个子带，如图1-3。3LL3HL2HL3HL3LH3HH2LH2HH3LH1HH图1-2图像的三级小波分解图4.小波阈值去噪方法小波阈值去噪的基本思路是：（1）先对含噪信号kf做小波变换，得到一组小波系数kjW,；（2）通过对kjW,进行阈值处理，得到估计系数kjW,^，使得kjW,^与kjW,两者的差值尽可能小；（3）利用kjW,^进行小波重构，得到估计信号kf即为去噪后的信号。Donoho提出了一种非常简洁的方法对小波系数kjW,进行估计。对kf连续做几次小波分解后，有空间分布不均匀信号ks各尺度上小波系数kjW,在某些特定位置有较大的值，这些点对应于原始信号ks的奇变位置和重要信息，而其他大部分位置的kjW,较小；对于白噪声kn，它对应的小波系数kjW,在每个尺度上的分不都是均匀的，并随尺度的增加，kjW,系数的幅值减小。因此，通常的去噪办法是寻找一个合适的数作为阈值（门限），把低于λ的小波函数kjW,（主要由信号kn引起），设为零，而对于高于的小波函数kjW,（主要由信号ks引起），则予以保留或进行收缩，从而得到估计小波系数kjW,^，它可理解为基本由信号ks引起的，然后对kjW,^进行重构，就可以重构原始信号。估计小波系数的方法如下，取：Nlog2（1-15）定义：kjkjkjkj^,0,（1-16）称之为硬阈值估计方法。一般软阈值估计定义为kjkjkjkjWWkWjWsignW,,,,^,0,,（1-17）小波阈值降噪方法处理阈值的选取，另一个关键因素是阈值的具体估计。如果阈值太小，降噪后的图像仍然存在噪声：相反如果阈值太大，重要图像特征有被滤掉，引起偏差。从直观上讲,对于给定的小波系数，噪声越大，阈值就越大。1.2.2小波去噪对比试验1.测试信号图形图1-3原始信号和含噪信号2.不同阈值选取方式下滤波效果的比较图1-4MATLAB中的4种阈值选取方式对比可以看出，固定阈值形式（sqtwolog）和启发式阈值（heuesure）的去噪更彻底，而由于rigrsure和minimaxi阈值选取规则较为保守（阈值较小），导致只有部分系数置零噪声去除不彻底。3.软门限阈值和硬门限阈值处理比较（SORH的设置）图1-5软门限阈值和硬门限阈值处理比较1.2.3利用小波去噪函数去除给定图像中的噪声图1-6小波的图像去噪结果从含噪图像可以看出噪声含量非常强，而从去噪的结果可以看出，通过小波去噪后的图像基本和原图像一致。