小波变换与应用(第六章).

2020/1/2小波分析与应用第六章小波变换与应用6.1短时傅立叶变换与小波分析6.2小波变换的特点及其基本性质6.3多分辨力小波分析的基本框架6.4双正交滤波器组的设计6.5时-频信号分析的Matlab仿真本章小结2020/1/2小波分析与应用前面主要讨论统计量不随时间变化的平稳信号的数学处理方法。但实际信号却往往有某个统计量是时间的函数，这类信号统称为非平稳信号。例如，绝大多数机电系统的早期故障信号、目标运动时雷达和声纳信号均为非平稳信号。虽然卡尔曼滤波、递推最小二乘法和LMS自适应滤波等也适用于处理非平稳信号，但这些算法仅限于慢时变信号的跟踪。当信号的统计特性随时间流逝而发生显著变化时，只能用信号的瞬时统计特性（局部性能）来表征描述非平稳信号，对此经典的傅立叶变换不再是有效的数学工具了。因为傅立叶变换是针对全局信号进行的变换，反映信号统计特性的傅立叶谱，完全不具备某一频率分量发生时刻的信息。这就促使去寻找一种联合时域和频域的二维分析方法，来研究信号的瞬时统计性能，这就是所谓的时-频分析方法。2020/1/2小波分析与应用非平稳信号的时频分析方法同样可以分为线性和非线性变换两大类，本章主要是从工程实现的角度出发，介绍目前分析非平稳信号最常用的线性变换方法——小波变换。6.1短时傅立叶变换与小波分析先考察声纳进行谱线检测与跟踪时的一种典型工作情况。在图6-1(a)中，A是目标舰艇，它以恒定速度v运动，B是一静止的声纳浮标（水声传感器）。A与B之间的距离rk是随时间k而变化的。令水声传感器的位置在目标舰线上的投影点为0，并以目标舰到达0点的时刻作为时间原点k=0，则距离线与目标线的夹角余弦可表示为2020/1/2小波分析与应用10050-100-500(c)时间secs-4-3-2-1213450频率Hz600500400f0(1-v/c)f0(1+v/c)f0fkksecsk=0rkθkBvA(a)(b)图6-1(a)目标舰A相对于水听器B的运动(b)接收信号瞬时频率的变化情况(c)时-频图kkrkvcos2020/1/2小波分析与应用记f0为目标舰辐射谱线频率，则由于多普勒效应，水声传感器检测到的信号瞬时频率为fk随时间k变化的情况以及相应的时-频图分别由图6-1(b)和图6-1(c)表示。由图可见，当目标距离越近时，信号频率随时间的变化速率越快，最需要密切监视目标舰和采取必要的措施。因此，如果没有很好的方法处理快速变化的信号，图6-1(c)时频曲线中间过渡部分将变得模糊不清。这不仅无法跟踪（锁定）目标，而且还丧失了检测能力。由于经典的傅立叶变换仅在频域里有局部分析（频谱的分布）的能力，而在时域里不存在这种能力（时域波形完全)(1)cos(1200kkkrckvfcvff2020/1/2小波分析与应用不包含任何频域信息），因而，无法处理上述调频信号问题，至于第五章介绍的自适应谱线增强器，基本上可以解决这一类问题，但效果不好。1946年，DennisGabor引进了短时傅立叶变换（Short-timeFourierTransform，STFT）以及随后发展起来的时-频信号处理方法，可以较好的解决非平稳信号的处理问题。STFT的基本思路是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。下面就介绍这一思路的数学表示方法。6.1.1短时傅立叶变换STFT是对信号x(t)施加一个实滑动窗w(t-τ)（τ反映滑动窗的位置）后，再作傅立叶变换，即2020/1/2小波分析与应用（6.1.1）它也可以看作是x(t)与调频信号g(t)=w(t-τ)ejωt的内积；其中，τ－移位因子，ω－角频率。在这个变换中，w(t)起着时限作用，随着时间τ的变化，w(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，“逐渐”对x(t)进行分析,故STFTx(ω，τ)大致反映了信号x(t)在时刻τ含有频率成分为ω的相对含量，如图6-2所示。这样，信号在滑动窗上展开就可以表示为[τ-Δt/2,τ+Δt/2]、[ω-Δω/2，ω+Δω/2]其中，Δt和Δω分别称为窗口的时宽和频宽，它们表示时频分析的分辨力。ttwtxtxde)()(),(STFTj2020/1/2小波分析与应用在实际应用中，希望窗函w(t)是一个“窄”的时间函数，以便于细致观察x(t)时宽Δt内的变化状况；基于同样的理由，还希望w(t)的频带Δω也很窄，以可以仔细观察x(t)的在频带Δω区间内的频谱。但海森伯格（Heienberg）的测不准原理（UncertaintyPrinciple）[5]指出Δt和Δω是相互制约的，两者不可能都OOωτx(t)w(t-τ)图6-2短时傅立叶变换的时频特点STFTt2020/1/2小波分析与应用任意小，事实上，窗口的面积必须满足：Δt×Δω≥½当且仅当w(t)为高斯函数时，等号才成立。例6-1假定w(t)是高斯型的，当τ=0时，有对于固定频率ω=ω00,调频信号及其傅立叶变换分别为由于ω0只影响g(t)中的复指数因子，因此，从时域上看，当ω0变为2ω0时，g(t)的包络不变，只是包络线下的谐波频率发生变化，如图6-3（a）所示；从频域上看，当](4exp[π)()exp(j)exp()(2002TTGtTttg)/exp()(2Tttw2020/1/2小波分析与应用ω02ω0ωωttg(t)=exp(-t2/T)cos2ω0tτω2ω0ω0ω0/2τ1τ0G(ω)=√πT·exp[-T(ω-ω0)2/4]G(ω)=√πT·exp[-T(ω-2ω0)2/4]g(t)=exp(-t2/T)cosω0t(a)(b)图6-3STFT的分析特点（a）频率变化的影响；（b）基本分析单元的特点OO2020/1/2小波分析与应用ω0变为2ω0时，G(ω)的中心频率变成2ω0，但带宽仍保持不变。由此可见，当窗函数w(t)选定后，时频分辨力也就随之确定了,也就是说STFT的时窗宽度与频窗宽度是固定的，其实质是只具有单一的分辨力，如图6-3(b)所示。若要改变分辨力，则必须重新选择窗函数。而在实际应用中，对于非平稳信号，当信号波形发生剧烈变化的时刻，主频是高频，因此，必须选取“窄”的窗函数，以提高时域分辨力，但与“窄”的窗函数g(t)相对应的频谱带宽则较宽；当信号波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，故又要求的频谱G(ω)必须是“窄”的，才能提高频域分辨力，但与“窄”的G(ω)对应的窗函数则较宽。显然，STFT不能兼顾时域分辨力和频域分辨力。这就需要能够根据信号波形主频的变化而“自适应”改变窗函数的数学变换—小波变换。2020/1/2小波分析与应用6.1.2连续小波分析设x(t)是平方可积函数[即x(t)∈L2(R)]，ψ(t)是基本小波或母小波（motherwavelet）函数，则称（6.1.2）为x(t)的小波变换。式中a0,称为尺度因子；b反映时间位移，其值可正可负。符号·表示内积，而是基本小波的位移和尺度伸缩，也称之为ψ(t)的生成小波。由于式（6.1.2）中的t，a和b均为连续变量，因此称之为连续小波变换（CWT）。)(),(d)()(1),(WT*ttxtabttxabaabx)(1)(abtatab2020/1/2小波分析与应用关于式（6.1.2），应作如下几点说明：（1）基本小波ψ(t)可以是复解析信号。例如便是解析信号，它是高斯包络下的复指数函数，其虚部是实部的希尔伯特（Hilbert）变换（helpHilbert/Matlab)：其中，*表示卷积。（2）尺度因子a愈大,ψ(t/a)愈宽，反之亦然。对于一个持续时间有限的小波，ψ(t)与ψab(t)之间的关系以及不同尺度a下小波分析区间的变化可用图6-4表示。tTttTttTtt020202sin)/exp(jcos)/exp()exp(j)/exp()(ttTttTttπ1]cos)/j[exp(cos)/exp()(02022020/1/2小波分析与应用图6-4小波的位移与伸缩及其不同a值下小波分析区间的变化ψ(t-b)，移位ttb0ba02a03a04a0aψ[(t-b)/a],a=2bbψ(t)ψ(t/a)，a=2，伸缩tt时间分辨宽度2020/1/2小波分析与应用从图中可以看出，小波的持续时间随a的增大而加宽，幅度则与√a成反比，但波形形状保持不变。（3）ψab(t)前加因子1/√a的目的是使不同的a值下ψab(t)的能量保持不变。（4）式（6.1.2）定义的内积，往往被不严格地解释成卷积。这是因为两式相比，区别仅在ψ(t-b)改成ψ(b-t)=ψ[-(t-b)]，即ψ(t)的首尾对调。如果ψ(t)是关于t=0对称的函数，则计算结果是一样的；如非对称，在计算方法上也没有本质区别。ttbtxbbtbxttxtbttxbttxd)()(d)()()(*)(d)()()(),(****卷积：内积：2020/1/2小波分析与应用下面介绍小波变换在频域上的特点。如果Ψ(ω)是幅频特性比较集中的带通函数，式（6.1.2）在频域上可表示为（6.1.3）证明：由傅立叶变换的性质F{x(-t)}=X(-ω)，F{x*(t)}=X*(-ω)和卷积定理，有所以d)exp(j)()(π2),(WT*baΨXabax)()()(*)(*FT*ΨXttx)()()(*)(1*FT*aΨXaattxa2020/1/2小波分析与应用于是由此可见，对于幅频特性比较集中的带通函数Ψ(ω)，例如，Ψ*(aω)的幅频特性集中于某一频率点ω0/a，则小波变换就具有表征待分析信号X(ω)在频率点ω0/a附近的局部性质的能力。例6-2假定小波ψ(t)是高斯型的，即Morlet小波的频谱Ψ(ω)为})()({Fd)exp(j)()(π2),(WT*1*aΨXabaΨXabax)exp(j)/exp()(02tTtt])(4exp[π)(20TTΨ2020/1/2小波分析与应用由于Ψ(ω)是中心频率在ω0处的高斯型函数，如图6-5(a)所示，因此可以表征X(ω)在ω0附近的局部性质。如果采用不同的尺度伸缩因子a，Ψ(aω)的中心频率和带宽将发生变化。例如当a=2时，ψ(t/2)的傅立叶变换为(a)Q=ω0/Bω|Ψ(ω)|Bω0ω|Ψ’(ω)|B’=B/aω0/a(b)Q’=(ω0/a)/(B/a)=Q图6-5尺度伸缩时小波函数的品质因数不变])2(exp[π2)(22)]2(F[20TTΨt2020/1/2小波分析与应用可见,此时中心频率降到ω0/2，而(-3dB)带宽也由2T-1/2变为T-1/2，如图6-5(b)所示，故|Ψ(aω)|的品质因数不变。总之，从频域上看，用不同的尺度作小波变换，相当于用一组中心频率不同的带通滤波器对信号进行处理。带通滤波器的作用是对信号进行分解或者调谐。图6-6表示小波变换在时-频平面上的基本特点：当a值小时，ψ(t/a)很“窄”，因此在时轴上的观测范围小，可以“细致观察”时域波形的变化；而在频域上相当于用较高频率的小波，对信号的频谱作分辩力较低的分析。当a值较大时，ψ(t/a)变“宽”，时轴上的观测范围大，可以“初略观察”时域波形；而在频域上相当于用低频小波对信号作分辩力较高的分析。分析频率有高有低，但在各分析频段内的品质因数Q却2020/1/2小波分析与应用保持恒定。带宽时窗宽(b)(a)ψ(t)ω0/2ω0Ψ(2ω)Ψ(ω)ψ(t/2)b1b0bωωωtt2ω0a=1/2ω0a=1ω0/2a=2a=1a=2图6-6小波函数的时频分析特点：（a）尺度变化；（b）基本单元的分辨力2020/1/2小波分析与应用这种分析特点是工程实际所期望的：对于高频信号，希望在时域有较高的分辨力，而在频域分辨力则允许相应地降低，