必修5教案2.3等比数列的概念(二)

§2.3第9课时等比数列(2)教学目标（1）进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；（2）利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质；（3）培养学生应用意识．教学重点，难点（1）等比数列定义及通项公式的应用；（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题．教学过程一．问题情境1．情境：在等比数列{}na中，（1）2519aaa是否成立？2537aaa是否成立？（2）222(2)nnnaaan是否成立？2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？二．学生活动对于（1）∵451aaq，891aaq，∴2842219115()aaaqaqa，2519aaa成立．同理：2537aaa成立．对于（2）11nnaaq，321nnaaq，121nnaaq，∴31222122221111()nnnnnnnaaaqaqaqaqa，222(2)nnnaaan成立．一般地：若mnpq(,,,)mnqpN，则qpnmaaaa．三．建构数学1．若{}na为等比数列，mnpq(,,,)mnqpN，则qpnmaaaa．由等比数列通项公式得：111n1,mnmaaqaaq，111q1,pqpaaqaaq，故221mnmnaaaq且221pqpqaaaq，∵mnpq，∴qpnmaaaa．2．若{}na为等比数列，则mnmnaqa．由等比数列的通项公式知：，则mnmnaqa．四．数学运用1．例题：例1．（1）在等比数列{}na中，是否有211nnnaaa（2n）？（2）在数列{}na中，对于任意的正整数n（2n），都有211nnnaaa，那么数列{}na一定是等比数列．解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列{}na是等比数列，∴11nnnnaaaa，即211nnnaaa（2n）成立．（2）不一定．例如对于数列0,0,0,，总有211nnnaaa，但这个数列不是等比数列．例2．已知{}na为GP，且578,2aa，该数列的各项都为正数，求{}na的通项公式。解：设该数列的公比为q，由7575aqa得22184q，又数列的各项都是正数，故12q，则58118()()22nnna．例3．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。解：由题意可以设这三个数分别为,,aaaqq，得：222222791aaaqqaaaqq22231(1)91aaqq∴4298290qq，即得29q或219q，∴3q或13q，故该三数为：1，3，9或1，3，9或9，3，1或9，3，1．说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为,,aaaqq．例4．如图是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）……求第n个图形的边长和周长．解：设第n个图形的边长为na，周长为nc．由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的13，∴数列{}na是等比数列，首项为1，公比为13．∴11()3nna．要计算第n个图形的周长，只要计算第n个图形的边数．第一个图形的边数为3，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的4倍，∴第n个图形的边数为134n．11114()(34)3()33nnnnc．2．练习：1．已知{}na是等比数列且0na，569aa，则3132310logloglogaaa．2．已知{}na是等比数列，47512aa，38124aa，且公比为整数，则10a．3．已知在等比数列中，34a，654a，则9a．五．回顾小结：1．等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）．六．课外作业：书51P练习第1，2题，52P习题第6，8，9，10题．