必修一好题源第三章函数的应用

第1页共10页必修一好题源第三章函数的应用一、函数与方程【教材原题】课本88页例题1例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数．解：用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表与图像如下:x123456789f(x)－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由上表和图可知，f(2)0,f(3)0,则f(2)·f(3)0,这说明函数f(x)在区间（2，3）内有零点．由于函数f(x)在定义域（0，+∞）内是增函数,所以它仅有一个零点．【高考题或模拟题】1．(2012·长沙模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表x123456f(x)136.1315.552－3.9210.88－52.488－232.064则函数f(x)存在零点的区间有()A．区间[1,2]和[2,3]B．区间[2,3]和[3,4]C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]【答案】C【解析】因为f(2)0，f(3)0，f(4)0，f(5)0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．2.(2013·湛江模拟)设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是________．第2页共10页分析：画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．【解析】设f(x)＝x3－(12)x－2，则x0是函数f(x)的零点．在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象，如图所示．∵f(1)＝1－(12)－1＝－1＜0，f(2)＝8－(12)0＝7＞0，∴f(1)f(2)＜0，∴x0∈(1,2)．【答案】(1,2)3.(2012·天津高考)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3分析：先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．【解析】因为f′(x)＝2xln2＋3x20，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，所以有1个零点．【答案】B4.(2013·德州调研)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．【解析】函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上递增．由已知条件f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0.【答案】(－2,0)5.(2012·上海高考)方程4x－2x+1－3＝0的解是_____．【解析】法一：原方程4x－2x+1－3＝0可化为(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，由于2x＞0，x∈R，∴2x－3＝0，即x＝log23.第3页共10页法二:令t＝2x，则t＞0，原方程可化为t2－2t－3＝0，解得t＝3或t＝－1(舍去)，即2x＝3，∴x＝log23.【答案】log23对比分析：1.考查知识点：书本题与2012·长沙模拟、2013·湛江模拟、2012·天津高考、2013·德州调研、2012·上海高考考查函数的零点、方程的根的问题；书本题与2012·天津高考考查零点个数问题；2012·长沙模拟、2013·湛江模拟考查利用函数零点的存在性定理和数形结合法判断零点所在区间；2013·德州调研考查知零点求参数；2012·上海高考考查函数的零点与方程根的联系．2．考查的方式:书本题是解答题;2012·长沙模拟、2012·天津高考考题是以选择题形式出现；2013·湛江模拟、2013·德州调研、2012·上海高考是填空题．3．命题的思路：书本题与2012·天津高考考查零点个数的判断方法；2012·长沙模拟、2013·湛江模拟考查考查学生对确定函数零点所在区间的方法的掌握情况；2012·上海高考、2013·德州调研考查学生解方程的能力．4．进一步挖掘的价值：从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，主要考查学生转化与化归及函数与方程的思想．二、函数模型及其应用1.一次函数与二次函数模型【教材原题】课本104页例5例5某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶．解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元，则有日均销售量为48040(1)52040xx（桶）.第4页共10页而0,520400,013xxx且即,22(52040)2004052020040(6.5)1490yxxxxx,6.5xy当时，有最大值.只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.【高考题或模拟题】(2013·聊城模拟)西部大开发是中华人民共和国中央政府的一项政策，提高了西部的经济和社会发展水平．西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P＝－1160(x－40)2＋100万元．当地政府借助大开发拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获利润Q＝－159160(60－x)2＋1192(60－x)万元．问从10年的总利润看，该规划方案是否具有实施价值？分析：计算实施规划前后10年总利润，通过比较可知该规划方案是否具有实施价值．【解析】在实施规划前，由题设P＝－1160(x－40)2＋100(万元)知，每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．则10年的总利润为W1＝100×10＝1000(万元)．实施规划后的前5年中，修建公路的费用为30×5＝150(万元)，又由题设P＝－1160(x－40)2＋100知，每年投入30万元时，利润P＝7958(万元)．前5年的利润和为7958×5－150＝27758(万元)．设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的(60－x)万元投资于外地的销售，则其总利润为：第5页共10页W2＝[－1160(x－40)2＋100]×5＋(－159160x2＋1192x)×5＝－5(x－30)2＋4950.当x＝30时，(W2)max＝4950(万元)．从而10年的总利润为27758＋4950(万元)．∵27758＋4950＞1000，故该规划方案有极大实施价值．对比分析：1.考查知识点：书本题与2013城模拟考查的知识点是函数模型及其应用；书本题与2013聊城模拟都是二次函数模型，把实际问题转化为二次函数求最值问题．2．考查的方式:书本题与2013聊城模拟都是解答题．3．命题的思路：书本题与2013聊城模拟考查学生建模能力，考查学生对二次函数的最值的求解方法的掌握程度，及对实际问题的处理能力．4．进一步挖掘的价值：从近两年高考试题看，对二次函数模应用问题的考查，更多地以社会实际生活为背景，设问新颖，灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上，常与基本不等式、最值等知识交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力．2.指数函数模型【教材原题】课本105页例6例6：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表提供的的数据,能否建立一个恰当的函数模型,使它能近似地反映这个地区一体化未成年男性体重y㎏与身高x㎝的函数关系?试写出这个函数模型的关系式；(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,第6页共10页那么这个地区一名身高为175㎝,体重为78㎏的在校男生的体重是否正常?解：(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图010203040506060708090100110120130140150160170180根据图的分布特点,设y=a·bx这一函数来近似刻画其关系;取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx得：701607.9.47.25.abab用计算器得：a2,b1.02这样就得到函数模型：y=21.02x(2)将x=175代入y=21.02x，得y=21.02175用计算器得：y63.98由于7863.981.221.2,所以这个男生偏胖．【高考题或模拟题】(2013·广州模拟)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？【解】(1)设每年降低的百分比为x(0＜x＜1),则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12.解得11011()2x.(2)设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即110211()()22m，m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．第7页共10页(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，310211()(),22nn10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．对比分析：1.考查知识点：书本题与2013·广州模拟考查的知识点是函数模型及其应用；书本题考查建立指数函数模型的方法；2013广州模拟考查指数函数模型的应用，与增长率、不等式相结合进行考查．2．考查的方式:书本题与2013广州模拟都是解答题．3．命题的思路：书本题与2013广州模拟考查学生建模能力，考查学生对指数函数模型建立，及对实际问题的处理能力．4．进一步挖掘的价值：从近两年高考试题看，对指数函数模型应用问题的考查，指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；题型选择、填空、解答题都有，难度中等偏上，常与基本不等式、最值等知识交汇，考查学生分析问题、解决问题的能力．3.分段函数模型【教材原题】课本102页例3例3一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象第8页共10页解(1)阴影部分的面积为501801901751651360阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km(2)根据图形可得：502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,45,ttttstttttt这个函数的图像如下图所示：【高考题或模拟题】(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(