数学必修五-数列复习

数列复习课数列的定义：按一定顺序排列的一列数。数列的分类：1.按项数分有穷数列无穷数列2.按项的大小分递增数列递减数列摆动数列常数列一、知识要点一、知识要点[等差（比）数列的定义]如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差（比）等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差（比）数列。[等差（比）数列的判定方法]1、定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差（比）数列。2．等差（比）中项：对于数列，若则数列是等差（比）数列。nadaann1nana212nnnaaana1()nnaqa212()nnnaaa3.通项公式法:(0)nnnaAnBaAqA且4.前n项和公式法:2(0)nnnSAnBnSAqAA且{an}是公差为d的等差数列{bn}是公比为q的等比数列性质１：an=am+(n-m)d性质１：性质２：若an-k,an,an+k是{an}中的三项，则2an=an-k+an+k性质2：若bn-k,bn,bn+k是{bn}的三项，则=bn-k•bn+k性质３：若n+m=p+q则am+an=ap+aq性质3：若n+m=p+q则bn·bm=bp·bq,性质４：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)性质４：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为.(可推广)性质５:若{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。性质５：若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn•dn}是公比为q·q′的等比数列.nmmqbnb2q2nb一、知识要点[等差（比）数列的性质]{an}是公差为d的等差数列{bn}是公比为q的等比数列性质6：数列{an}的前n项和为Ｓn成等差数列．性质6：数列{an}的前n项和为Ｓn成等比数列．性质７:数列{an}的前n项和为Ｓn性质７：数列{an}的前n项和为Ｓn,,,232nnnnnSSSSS,,,232nnnnnSSSSSmnnmnSqSSmnmnndSSS等差（比）数列的增减性：1.等差数列（前多少项和最大或最小）（１）d＞０，递增数列，（２）d＜０，递减数列（３）d＝０，常数列２.等比数列（１）q＜０，摆动数列（２）q＝１，常数列（３），０＜q＜１，递减数列（４），q＞１，递增数列（５），０＜q＜１，递增数列（６），q＞１，递减数列01a01a01a01a已知数列是等差数列，，。（1）求数列的通项。（2）数列的前多少项和最大，最大值是多少？（3），求证：数列是等比数列。nana318a710a2lognnabnbna.(1)设公差为d,则3117121822,22(1)2246102naadaandnaadd　得242012nann(2)由得，　前12项和与前11项和最大，值为1212(220)1322S11S2422(3)log2422nnnnabnb，　，242(1)124221,24nnnnnbbb　数列是等比数列二、【题型剖析】【题型1】等差(比)数列的基本运算【题型1】等差（比）数列的基本运算练习：等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4an=33，则n是（）A.48B.49C.50D.5131C练习：等比数列{an}中，若a2=2，a6=32，求a14【题型2】等差数列的前n项和例题：在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求它们的和。设共有n项，即，a1=100，d=5，an=995由得995=100+5（n-1）即n=180dnaan)1(1所以在三位正整数的集合中5的倍数有180个，它们的和是98550985502)995100(180180S解：在三位正整数的集合里，5的倍数中最小是100，然后是105、110、115…即它们组成一个以100为首项，5为公差的等差数列，最大的是995变式：在三位正整数的集合中有多少个个位不是0且是5的倍数的数？求它们的和【题型2】等差（比）数列的前n项和练习：等差数列{an}中,则此数列前20项的和等于（）A.160B.180C.200D.22012318192024,78aaaaaaB解：①②24321aaa78201918aaa①+②得：54)()()(183192201aaaaaa183192201aaaaaa54)(3201aa18)(201aa180218*202)(2020120aas123211,3,2,nnnnaaaaaaa2008例3.在数列中,求S6162636465661,3,2,1,3,2kkkkkkaaaaaa20081232008123678126162661999200020042005200620072008200520062007200861626364()()()()=5kkkkkkkSaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa练习2311357...(21).nSxnxxx求（2）x=1时，Sn=n2（3）x≠1时S=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1x·S=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn-1+(2n-1)xn(1-x)S=1+2(x+x2+x3+…+xn-1)-(2n-1)xnxnxxxnn)12(1)1(2110,1.xs(1)当时二、【题型剖析】【题型3】求等差（比）数列的通项公式例题：已知数列{an}的前n项和求an32nsn解：当时2n221(3)(1)321nnnassnnn当时1n而41s11a所以：)2(12)1(4nnnan所以上面的通式不适合时1n练习：已知数列{an}的前n项和求an32nns练习1：设等差数列{an}的前n项和公式是求它的通项公式__________253nSnn210nan【题型3】求等差（比）数列的通项公式练习2：设等差数列{an}的前n项和公式是求它的通项公式__________51nnS145nna练习3：已知数列中，，，求通项公式。}{na21annnaa31na2)1(32nnna【题型4】等差（比）数列性质的灵活应用二、【题型剖析】例题：已知等差数列{an},若a2+a3+a10+a11=36，求a1+a12及S12∴a2+a3+a10+a11=2（a1+a12）=36解：由等差数列性质易知：a2+a11=a3+a10=a1+a12∴a1+a12=18，S12=108【题型4】等差（比）数列性质的灵活应用练习：在等比数列{an}中，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_.62.在等比数列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_____480【题型5】等差数列的判定与证明二、【题型剖析】例题：已知数列{an}是等差数列,bn=3an+4，证明数列{bn}是等差数列。又因为bn=3an+4,bn+1=3an+1+4证明：因为数列{an}是等差数列数列设数列{an}的公差为d（d为常数）即an+1-an=d所以bn+1–bn=（3an+1+4）-（3an+4）=3（an+1-an）=3d所以数列{bn}是等差数列例题.已知数列{an}中，a1=－2且an+1=sn，(1)求证：{an}是等比数列；(2)求通项公式。解:(1)略(2)由a1=－2且公比q=2∴an=(－2)×2n－1=－2n故{an}的通项公式为an=－2n二、【题型剖析】【题型5】等差（比）数列的判定与证明【题型5】数列的应用例某人，公元2000年参加工作，打算购一套50万元商品房，请你帮他解决下列问题：方案1：从2001年开始每年年初到银行存入3万元，银行的年利率为1.98%，且保持不变，按复利计算（即上年利息要计入下年的本金生息），在2010年年底，可以从银行里取到多少钱？若想在2010年年底能够存足50万，他每年年初至少要存多少钱？方案2：若在2001年初向银行贷款50万先购房，银行贷款的年利率为4.425%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，他每年至少要还多少钱呢？例2解:⑴按复利计算存10年本息和（即从银行里取到钱）为：3×10%)98.11(+3×9%)98.11(+…+3×1%)98.11(=%)98.11(1]%)98.11(1%)[98.11(310≈33.51（万元）设每年存入x万元，在2010年年底能够存足50万则：50%)98.11(1]%)98.11(1[%)98.11(10x解得x=4.48（万元）例2解:⑵50万元10年产生本息和与每年存入x的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：5010%)425.41(每年存入x万元的本息和：x·9%)425.41(+x·8%)425.41(+…+x=%)425.41(1%)425.41(110·x从而有5010%)425.41(＝%)425.41(1%)425.41(110·x解得：x=6.29（万元），10年共付：62.9万元奎屯王新敞新疆三、归纳小结本节课主要复习了等差(比)数列的概念、等差（比）数列的通项公式与前n项和公式，以及一些相关的性质1、基本方法：掌握等差（比）数列通项公式和前n项和公式；2、利用性质：掌握等差（比）数列的重要性质；掌握一些比较有效的技巧；主要内容：应当掌握：