山东大学量子力学复习大纲

量子力学复习一、关于状态1.波函数及其几率诠释1.1.(,)xt与(,)rt1.1.1相对几率密度1.1.2归一化、“归一化”到函数及箱归一化1.2(,)pt与(,)pt1.3.Q表象中状态用列矩阵表达1.4.右矢1.5旋量波函数1.5.1电子自旋状态的描述自旋向上态，，12，10自旋向下态，，12，011.5.2旋量波函数11121222(;)(,;)(;)(;)(;)zrtrstrtrtrt1.6多粒子体系波函数12(,,;)rrt1.6.1非全同粒子体系波函数---不考虑交换对称性1.6.2全同玻色子体系波函数---粒子交换对称1.6.3全同费米子体系波函数----粒子交换反对称1.7常用的特殊态1.7.1()x1.7.2/1()2ipxpxe1.7.3无线深方势阱中的能量本征函数2()sin,0nnxxxaaa；()0,0,nxxxa1.7.4一维线性谐振子能量本征函数22/2()()xnnnxNeHx11[11]22nnxnnn1ˆ[11]22nnpninn1.7.5ˆzl的本征函数即平面转子能量本征函数1()2imme1.7.62ˆl的本征函数即空间转子能量本征函数(,)lmY(cos)emimlmlNP1.7.7氢原子能量本征函数(,,)()(,)nlmnllmrRrY或(,,,)()(,)ssnlmmznllmmrsRrY2.波函数的标准条件连续单值有限3.束缚态与非束缚态(游离态、电离态)4.波函数满足薛定谔方程222(,)(,)(,)(,)2xtxtiVxtxttmx22(,)(,)(,)(,)2rtirtVrtrttm5.定态与非定态6.薛定谔方程的求解6.1能量本征方程(定态薛定谔方程)ˆnnnHE6.2含时薛定谔方程的特解(定态解)/(,)()niEtnnrtre6.3含时薛定谔方程的一般解/(,)()niEtnnnrtcre6.4含时薛定谔方程的定解满足(,0)()rr的解，*(,)()()nnncxxdx7.几率密度及几率流密度**[]2ijm*ˆRe[]pm8.态叠加原理8.1nnnc8.2测量值及相应概率若n是力学量A具有确定值na的状态，则体系处于nnnc时A的测值：12,,,,naaa相应概率22212,,,,nccc8.3波函数坍缩(量子态坍缩)若测得A的值为na，则体系状态由坍缩至n二、关于力学量1.力学量算符1.1用线性厄密算符表示1.2测量值是算符本征值1.3从经典量向量子力学的力学量过渡：先对称化再量子化2常用力学量算符2.1坐标算符x2.2动量算符ˆˆ,xpipix2.3角动量算符2ˆˆ,zlil2.4宇称算符ˆ和粒子交换算符2.4.1ˆ()()rr，即ˆ(,,)(,,)xyzxyz或ˆ(,,)(,,)rr2.4.211ˆ(,,,;)(,,,;)ijijjiPrrrtrrrt2.5电子自旋算符与泡利矩阵2.6哈密顿算符及能量本征值2.6.1无限深方势阱，分立谱22222nnEma2.6.2有限深方势阱，分立谱+连续谱2.6.3一维线性谐振子222221ˆ22dHmxmdx，分立谱1()2nEn2.6.4中心力场22222ˆˆ()()22lHrVrmrrrmr2.6.5氢原子222222ˆˆ()22leHrmrrrmrr，分立谱+连续谱2412222213.622eVnEeeEnnann…….3.算符代数3.1基本对易关系ˆ[,]xpi3.2算符恒等式3.3常用对易关系3.3.1ˆ[,],xlyiz3.3.2ˆˆˆ[,],xyzlpip3.3.3ˆˆˆ[,],xyzllil;ˆˆˆllil3.3.41ˆˆˆˆˆ[,],[,(,)]ˆnnFxpnipxFxpip3.3.51ˆˆˆˆˆ[,],[,(,)]nnFpxnixpFxpix4.力学量平均值4.1ˆ(,)FF或ˆ(,)/(,)FF4.2若ˆnnnFufu，将按ˆF的正交归一化的本征函数系{}nu展开1122auau，则平均值2221122nnnFafafaf或22nnnnnafFa5.厄密算符本征函数的性质5.1正交性*()()mnmnuxuxdx5.2完备性(,)()()nnnrtctur5.3封闭性*()(')(')nnnuxuxxx6.ˆˆˆˆ[,]0,ABAB有共同的本征函数系ˆˆ[,]0AB且系统处于ˆˆ,AB的共同本征态，则ˆˆ,AB同时有确定值7.不确定度及不确定度关系222()AAAAA1ˆˆ[,]2ABAB，2Et8.力学量平均值的时间变化率1ˆˆ[,]dAAHdti9.守恒量10.两个角动量的耦合121212,1,,jjjjjjj三、表象理论1.Q表象中态矢量用列矩阵表示2.Q表象中力学量用厄密方阵表示3.表象变换矩阵为幺正矩阵S3.1mnS老m新n3.2新表象基矢在老表象中的列矩阵按列排起来4.表象变换4.1'S4.2'FSFS5.狄拉克符号5.1状态5.2内积5.3算符6.用狄拉克符号表达的公式6.1正交归一mnmn6.2完备性1nnn6.3薛定谔方程()ˆ()tiHtt，ˆnnnHE6.4平均值ˆFF7.()xx四、近似方法1.定态非简并能级微扰(0)(0)(0)ˆkkkHE2(0)(0)(0)nkkkkknkknHEEHEE(0)(0)(0)(0)nkkknnkknHEE2.定态简并能级微扰(0)(0)(0)ˆ,1,2,kkkHE(1)111121(1)221222(1)120nnnnnnnCHEHHCHHEHCHHHE(0)(0)(0)1122CC3.含时微扰'2'201kktitkkkkWHedt