哈尔滨工业大学2013秋数值分析试题及答案

1．用Newton迭代法解方程32340fxxx的根2x，讨论迭代法的收敛阶，设计修正的方法提高迭代法的收敛阶；并对初值01.5x迭代二步，结果保留3位小数。解：设32()34fxxx2()36fxxx()66fxx(2)0,(2)0,(2)0fff所以2是()0fx的二重根，故Newton迭代在2附近是线性收敛；构造修正的Newton迭代：32122()2(34)()36nnnnnnnfxxxxxxfxxx2243nnnxxx200102437/183xxxx21121243997/19982.0013xxxx2．给定线性方程组Axb，其中242492227A，8201b（1）利用Doolittle（杜利特尔）三角分解求解此线性方程组；（2）使用乘幂法计算矩阵A的特征值和对应的特征向量。（初值取(0)T(1,0,0)v。只需计算前三次迭代，给出计算过程和结果，计算结果保留四位小数。）解：（1）由Doolittle三角分解ALU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，得111213111213212223212223313233313233100100100aaauuuaaaluuaaallu即242100242492210012227121001原方程变为LybUxy，解得8,4,1,1,2,1TTyx。（2）0000(1,0,0),1,0,0max()TTvvuv1102,4,2TvAu，1110.5,1,0.5max()Tvuv4216,12,6.5TvAu，2220.5,1,0.5417max()Tvuv12326.0834,12.0834,6.7919TvAu，3330.5035,1,0.5621max()Tvuv，12.08343．已知()sx是[0,2]上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定32312()2(1)(1)(1)xxsxbxcxdx0112xx中的参数b，c和d。解：记31232()12()2(1)(1)(1)sxxxsxbxcxdx，由三次样条和自然边界条件的定义，有121212(10)(10),'(10)'(10),''(10)''(10)ssssss12''(0)0,''(2)0ss解得，1,3,1bcd。4．确定两点求积公式201-222()()()33fxdxAfAf系数01,AA,使求积公式有尽可能高的代数精度。是否是Gauss型的？并用此公式计算积分20sinxdx,(结果保留四位小数)解：令()1,fxx求积公式准确成立，有：0101422()()033AAAA得：012AA求积公式：2222()2()2()33fxdxff令23(),fxxx求积公式准确成立的，4()fxx求积公式不是准确成立的，求积公式代数精度为3，是Gauss型的；作变换(2),[2,2]8xtt222022sinsin(2)sin(2)222888822[2sin(2)2sin(2))]888330.9985xdxtdttdt5．已知函数()fx满足数表：ix-102ifx10161）试求()fx在-1,2上的Hermite插值多项式()Hx,使之满足下列条件：()(),0,1,2iiHxfxi，1()0Hx2）设(4)()[0,2]fxC，证明余项(4)2()()()()(1)(2)4!fRxfxHxxxx，(-1,2)解：(1)设230123()Hxaaxaxax,由0123001231(1)1(0)0(2)24816'(0)0HaaaaHaHaaaaHa得23()23Hxxx（2）设余项2()()()()(1)(2)RxfxHxkxxxx，()kx为待求函数。构造2(2()()()()(1))tftHtktxtt，则(1)0,(0)0,(2)0,'(0)0,()0x故()t有5个零点，(4)()t至少有一个零点：(4)(4)()4!()(0)kfx所以(4))4!(()kxf，余项表达式为(4)2()()()()(1)(2)4!fRxfxHxxxx6．利用逆Broyden迭代法，解方程组221222124010xxxx，取初值01.6,1.2x迭代二步，结果保留3位小数。逆Broyden秩1方法：11()()()()iiiiiTiiiiiiiTiiyxxHFxrHHHrHyrH解：记221222124()1xxFxxx，则121222'()22xxFxxx0[1.6,1.2]x，0100.156250.15625'[]0.2083330.208333HFx00121121[1.58125,1.225][0.000976562,0.120273][0.01875,0.025]0.1543450.1543450.2064280.210238[1.58114,1.22474][0.000977866,0.000291477][0.000108524,0.000259077]0.1501450.150xyrHxyrH1450.2022280.2144387．求数据1,2,0,1,1,2,2,4的最小二乘拟合多项式201xaax解：法方程为0146961820aa得017/613/18aa。8．应用差分方法：112[3]4nnhyyKK121(,)2(+,)33nnnnKfxyhKfxyhK解初值问题0-(0)yyyy时，讨论步长应取何值方能保证方法的绝对稳定性？解：应用差分格式为：1221(12/3)(1/2)nnnnKyKhyyhhy，h需要满足2|/2|11hh所以02.h9．给定线性多步法：111412333nnnnyyyhy（1）求出该格式的局部截断误差首项和首项系数；（2）分析该格式的收敛性；（3）讨论该格式的绝对稳定性，指出绝对稳定区间。（在局部截断误差中10111[()()],2,3,!pprrriiiiCiaribrr）（参考定理：设1x和2x是实系数二次方程20xbxc的根，则121,1xx的充要条件是1,1bcc。）解：011412,0,333aab（1）把局部截断误差nT在nx处Taylor展开：()01()()()rrnnnrnTcyxchyxchyx0120ccc3209c33(3)(3)122()(),(,)99nnnnnnhhTyxyxx（2）010cc，方法是相容的；第一特征多项式：241()33rrr，两根为：0111,,3rr方法满足根条件；由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。(3)稳定多项式：2241(;)(1)333rhhrr，由绝对稳定性要求知0,h故2103h由参考定理知：(;)0rh的两根0,1()1rh41331221133131213hhh0h即方法是无条件绝对稳定的。1．对于位数有限的实数0a，给出一个不用除法运算求倒数1a的二阶收敛的迭代公式；分析迭代初值0x可以选取的范围；若0.324a，试求1a（迭代4次，计算结果保留四位小数）。解：（1）考虑方程1()0fxax，1a为此方程的根,21'()fxx，利用Newton法建立迭代公式1()(2)'()kkkkkkfxxxxaxfx迭代函数()(2)xxax。由2111(2)(1)kkkkaxaxaxax有201(1)kkaxax所以201(1(1))kkxaxa当020xa时，0|1|1ax，因此20lim(1)0kkax，即1limkkxa又因为11'()0,''()0,aa所以格式是二阶收敛的。（2）当0.324a，002/6.17284xa，可取05x100211322433(2)1.9(2)2.6304(2)3.0190(2)3.0845xxaxxxaxxxaxxxax3．利用反差商方法，求有理插值函数Rx（）通过3467(0,2),(1,),(2,),(4,),(5,)251726。解：构造反差商表如下x0v1v_2v3v4v0213/2-224/5-5/3346/17-17/7-7-1/557/26-26/9-9/2-2/5-5所以22()2112231455xxRxxxxx4.确定数值积分公式10121()d(()()())fxxAfxfxfx中的求积系数A和求积结点012,,xxx，使得该公式具有最高代数精度。利用该公式计算积分4241d1xx的近似值。（计算结果精确到四位小数）。解：（1）由代数精度的定义，分别令23()1,,,.fxxxx使积分公式精确成立，有01222201201323332()0()2/3()0AAxxxAxxxAxxx解得，012211,,0,322Axxx。令4()fxx，积分公式不成立，故代数精度为3。（2）4241210121d114d1164(()()())883.259327xxxxAfxfxfx5．利用共轭梯度法求解线性方程组Axb，其中211120101A，010b初值取(0)T(1,0,0)x，给出计算中间过程和结果。已知的计算过程为：给定(0)x，计算(0)(0)(0)0,Arbxpr对0,1,k计算()()(1)()(1)()(1)(1)(1)1()()(,),,(,)(,),(,)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkrrxxprrAppAprrprprr解：计算过程如下000110112321232[2,2,1],[2,2,1],9/29[11/29,18/29,9/29][5/29,4/29,2/29],5/841[135/841,126/841,63/841],145/81[2/3,8/9,4/9][0,1/9,2/9],841/729[5/27,5/81,25/81],9/5[1,1,1][rpxrpxrpxr0,0,0]6．设()fx充分光滑，给出的带有余项的中矩形求积公式3()()d()()(),[,]224baabffxxbafbaab将[,]ab区间n等分，试导出复化中矩形求积公式；分析复化中矩形求积公式的误差。解：记分点,,0,1,kbaxkhhknn。则在每个单元上用中矩形求积公式：111100()d()d()()2kknnbxaxkkkknxxfxxfxxhfRf