数学核心素养统领下的数学教学变革(章建跃-)

核心素养统领下的数学教学变革人民教育出版社章建跃[e-mail]一、基本观点1．数学教育对发展学生核心素养的独特贡献，主要体现在科学精神、学会学习和实践创新上。•中国学生发展核心素养：文化基础（人文底蕴、科学精神）、自主发展（学会学习、健康生活）、社会参与（责任担当、实践创新）2．理性思维是数学核心素养的灵魂，发展学生的理性思维（特别是逻辑思维），使学生学会有逻辑地、创造性地思考，学会使用数学语言表达与交流，成为善于认识和解决问题的人才，是数学课程的主要任务。3．数学育人要发挥数学的内在力量，数学育人要用数学的方式。4．推理是数学的“命根子”，运算是数学的“童子功”。数学育人的基本途径是对学生进行系统的（逻辑）思维训练，训练的基本载体是逻辑推理和数学运算。5．教好数学就是落实数学核心素养，其内涵是：引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现实问题。•要把如何抽象数学对象、如何发现和提出数学问题作为教学的关键任务，以实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越。6.以数学知识为载体发展学生的核心素养•完整的数学学习过程：*数学研究对象的获得*研究数学对象*应用数学知识解决问题•数学对象的获得，要注重数学与现实之间的联系，也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯性，从“事实”出发，让学生经历归纳、概括事物本质的过程，提升数学抽象、直观想象等素养；•对数学对象的研究，要注重以“一般观念”为引导发现规律、获得猜想，通过数学的推理、论证证明结论（定理、性质等）的过程，提升推理、运算等素养；•应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念原理分析问题，体现建模的全过程，学会分析数据，从数据中挖掘信息等。“两个过程”的合理性•从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点。•前一个的核心是数学的学科思想问题，后一个是学生的思维规律、认知特点问题。•以发展学生数学素养为追求，根据学生的认知规律，螺旋上升地安排教学内容，特别是要让重要的（往往也是难以一次完成的）数学概念、思想方法得到反复理解的机会。•以“事实——概念——性质（关系）——结构（联系）——应用”为明线；•以“事实——方法——方法论——数学学科本质观”为暗线。从数学思维、思想或核心素养角度看•“事实——概念”主要是“抽象”（对典型而丰富的具体事例进行观察、比较、分析，归纳共性，抽象出共同本质特征，并推广到同类事物中去而得出概念）；•“概念——性质”主要是“推理”，包括通过归纳推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质；•“性质——结构”主要也是“推理”，是建立相关知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程；•“概念、性质、结构——应用”主要是“建模”，是用数学知识解决数学内外的问题。强调获得“事实”的教育价值•“数学事实”是数学学习的“原材料”，也是数学育人的首要素材；•真正的学习必须经历“感知—感悟—知识”的过程；•以“事实”为支撑的概念理解才是真理解，才能形成对概念本质的深刻体悟，教学应从让学生获得数学事实开始。•增加概括概念、发现性质所需的素材，提供丰富的、真实的应用问题；•调动所有感官参与学习，安排动眼观察、动手操作、动脑思考的实践活动，使学生通过自主活动获取理解概念所需的“事实”；•增加“悟”的时间，长时间的“悟”，然后是有所体验、有所心得、有所发现。•在整个教学过程中，都要发挥“一般观念”的作用，加强“如何思考”、“如何发现”的启发和引导，特别是在概念的抽象要做什么、“几何性质”“代数性质”“函数性质”指什么等问题上要及时引导，以使学生明确思考方向。小结•无论数学课改如何发展，其核心问题都不会改变，即：数学、学生，教学总是在反映这两者的规律上不断前行，没有最好只有更好。当前还要关注教学手段问题。•旧典时式——经典，用符合时代发展的形式表现出来。•形式为内容服务，改革是为了让学生享受更好的数学教育，让学生把数学学得更好。7.教师的专业发展水平和育人能力是落实核心素养的关键理解数学理解学生理解教学•当前的主要问题是教师在“理解数学”上不用功，数学水平不高导致数学课教不好数学，甚至数学课不教数学，使数学越来越难学，使学生越学越糊涂。三、系统观指导下的数学教学系统观的内涵：•整体性——把研究对象看成一个整体，从整体出发，在组成系统的各要素相互关系中探究研究对象的本质和规律。•层次性——系统是由要素组成的整体；每个系统又是它的上位系统的组成要素，由此构成具有层级关系的整体，这就是层次性。先把握基本要素，再看要素组成的子系统，然后再看子系统组成的上位系统……这样才能具有思想性、观念性。联系性•系统和系统之间、各要素之间、系统和要素之间是相互联系、相互作用的。•任何事物都由若干部分、要素构成，各部分、要素相互依存、相互联系。只有这样，事物才能成为有机整体。•任何事物都与周围的其他事物相互联系着，包括横向联系和纵向联系。目的性•数学育人目标有一个从宏观到微观的层级系统。•教学设计应该把教学过程看成具有一定发展规律和趋势的系统，在宏观目标指导下分析具体目标和内容，要注意把宏观目标落实在具体课堂中，使每一堂课都为达到宏观目标服务。•问题：数学育人目标的层级系统是怎样的？——不要搞核心素养贴标签•当前数学教学中存在的主要问题仍然是：碎片化教学，做题目成为一切，充其量只是培养了做题目的机器。•从数学育人的出发点和归宿看，思维的教学，培养学生的理性思维，发展学生的理性精神，这是根本。问题是：依靠什么来实现？•教学内容的整体性——载体；•系统思维——目标；•单元教学——途径。单元教学的组织要义•整体——局部——整体•前一个“整体”是先行组织者，认识的结构、普适性的思想方法、解决问题的策略，等等。•“局部”是对数学对象的内涵、要素、概念的定义和表示、分类、性质、特例……的研究，在这个过程中加强“如何归纳、抽象概念”、“如何发现值得研究的问题”、“如何研究性质”、“如何找到证明的方法”……的引导。•后一个“整体”，在分课时学习基础上的归纳、总结，不仅完善本单元的知识结构，而且建立与相关知识的联系，形成结构功能良好、迁移能力强的认知结构。系统观指导下的单元教学设计平面向量起始课•课标要求：构建研究平面向量的基本线索，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素。•教学设计要求：体现先行组织者思想，要在数学的整体观指导下，构建研究一个数学对象（平面向量）的基本线索，在此基础上构建平面向量的概念。提升学生的数学抽象、直观想象素养。先行组织者：构建研究路径•“平面向量”是高中数学中典型的“新对象”：既是几何研究对象，也是代数研究对象，是沟通几何与代数的桥梁；向量理论是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具。•问题思考：①“几何对象”指什么？“代数对象”指什么？②向量是怎样的基本工具，如何使它好用？•——方向很重要，方向如何“运算”是关键。研究路径是什么？如何构建？•背景引入•概念定义、表示、性质（要素之间的特殊关系）•运算和运算律（引进一种量就要定义运算，定义一种运算就要研究运算律）•向量基本定理及坐标表示•应用•问题思考：①章引言怎么用？②“研究路径”非出不可，什么时候出？开头、中间或结尾？“获得向量概念”要做哪些事？•获得研究对象：定义向量概念，认识“平面向量集合”中的元素。•现实背景（力、速度、位移等）——定义——表示（图形、符号、方向、大小）——特例（零向量、单位向量）——性质（向量与向量的关系，相等是最重要的关系；重点考虑“方向”，所以先有平行、共线、相反向量；等等）。如何定义向量加法？•既有大小，又有方向——“方向”如何相加？•“位移”是最好的模型，得到“三角形法则”；•接下来研究什么问题？•定义a+0=0+a=a（完备性）；•向量加法的性质：特例（共线）、三角形不等式；运算律。向量数乘、轴上向量的数量化•向量数乘——向量共线的充要条件：设非零向量a位于直线l上，那么对于直线l上的任意一个向量b，都存在唯一的一个实数λ，使b=λa．•一维向量坐标化：在轴x（具有方向和长度单位的直线）上取一点O为原点，得数轴Ox，并设它的基向量为e，|e|=1，则Ox上任意一点P与向量一一对应，而且𝑶𝑷＝𝑶𝑷e。这里𝑶𝑷叫做向量的数量，实际上就是数轴Ox上点P的坐标p，这就是用实数表示向量的方法。•点在轴上的运动、轴上的向量加法、实数的代数和的统一：•在轴x上，一个点从点A运动到点B，再从点B运动到点C，无论两次运动的方向如何（原来需要区分四种情况），都有𝑨𝑩+𝑩𝑪=𝑨𝑪。•用符号表示方向才有𝑨𝑩+𝑩𝑪=𝑨𝑪。这是一个“常识”，但非常很重要。它叫沙尔定理，沙尔（MichelChasles，19世纪重要的法国数学家）称之为“几何学的基本定理”，其实质意义是让几何量带上符号。正如伟大的数学家F·克莱因指出的：“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括。”向量投影•向量α向轴x投影得到的是与轴x平行的向量；设与轴x平行的单位向量为e，那么投影的数量是𝜶𝐜𝐨𝐬𝒆，𝜶。向量标准正交分解定理•平面内，给定标准正交基{i，j}。设向量α在i，j上的投影向量分别为αi，αj，那么α=αi+αj=(α▪i)i+(α▪j)j=𝜶𝐜𝐨𝐬𝐢，𝜶i+𝜶𝐜𝐨𝐬𝐣，𝜶j。•α▪i，α▪j是向量α在标准正交基{i，j}下的坐标。•特别地，向量α为单位向量，与i的夹角为β，那么𝜶=𝐜𝐨𝐬𝜷i+𝐬𝐢𝐧𝜷j。直线的参数方程•作为向量的应用——这就是解题，而且是最重要的解题！•条件是什么？•选谁为参数？——需要根据条件（实际需要），需要积累经验。•参数的意义是什么？•用好向量标准正交分解定理——要让学生体会向量的力量。•旧问题，新工具，新方法，新理解。•条件：一个点M0(x0，y0)，倾斜角α。•目标：直线l上任意一点M(x，y)用x0，y0和α来表示。•方法：不用斜率k=tanα，另外找一座桥，把M(x，y)，M0(x0，y0)和α联系起来。•给出提示：以向量为工具。•什么叫“倾斜角α确定了直线l的方向”？——与坐标轴的关系就确定了。•距离刻画了什么几何要素？•角度刻画了什么几何要素？•在直角坐标系中，α是怎么表示方向的——方向的量化表示？•A(1,0)，单位向量𝑶𝑨逆时针旋转角α到达点P，𝑶𝑷的方向表示为（cosα，sinα）——向量的正交分解定理；向量、三角、复数的统一；强调借助单位圆定义三角函数的理由。•直线l上有已知点M0(x0，y0)，任意一点M(x，y)，𝑴𝟎𝑴=𝒙−𝒙𝟎，𝒚−𝒚𝟎与𝑶𝑷平行，于是：𝑴𝟎𝑴=t𝑶𝑷，即𝒙−𝒙𝟎=𝒕cos𝜶，𝒚−𝒚𝟎=𝒕sin𝜶。这时，t的几何意义一目了然。四、构建研究几何对象的整体思路•立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。•位置关系：用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；•研究方法：直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等。•总体目标：认识和探索空间图形的概念、判定和性质，建立空间观念；提升直观想象、逻辑推理和数学抽象素养。•位置关系的具体内容：点、直线、平面作为“基本图形”，四个基本事实（平面三公理，平行公理）、一个等角定理；直线、平面的平行和垂直的判定、性质。1.平面三公理•课标要求：借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面位置关系的定义，了解三个公理。•教学设计要求：要引导学生体会刻画空间中点、直线、平面的基本特征（如平面的“平”）的方法，要注意“三种语言”的