2016年高考-全国二卷-文科数学-(原题+解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={1,2,3},B={x|x29},则A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}2.设复数z满足z+i=3-i,则𝑧=()A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i3.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin(2𝑥-π6)B.y=2sin(2𝑥-π3)C.y=2sin(𝑥+π6)D.y=2sin(𝑥+π3)4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12πB.323πC.8πD.4π5.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=𝑘𝑥(k0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=()A.12B.1C.32D.26.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.√3D.27.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.3109.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=()A.7B.12C.17D.3410.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=1√𝑥11.函数f(x)=cos2x+6cos(π2-x)的最大值为()A.4B.5C.6D.712.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则∑𝑖=1𝑚𝑥𝑖=()A.0B.mC.2mD.4m第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=.14.若x,y满足约束条件{𝑥-𝑦+1≥0,𝑥+𝑦-3≥0,𝑥-3≤0,则z=x-2y的最小值为.15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=.16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.18.(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(Ⅰ)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(Ⅱ)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(Ⅲ)求续保人本年度平均保费的估计值.19.(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(Ⅰ)证明:AC⊥HD';(Ⅱ)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=2√2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(Ⅰ)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若当x∈(1,+∞)时,f(x)0,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)已知A是椭圆E:𝑥24+𝑦23=1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(Ⅰ)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(Ⅱ)当2|AM|=|AN|时,证明:√3k2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(Ⅱ)直线l的参数方程是{𝑥=𝑡cos𝛼,𝑦=𝑡sin𝛼(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=√10,求l的斜率.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|𝑥-12|+|𝑥+12|,M为不等式f(x)2的解集.(Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b||1+ab|.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.D由已知得B={x|-3x3},∵A={1,2,3},∴A∩B={1,2},故选D.2.Cz=3-2i,所以𝑧=3+2i,故选C.3.A由题图可知A=2,𝑇2=π3-(-π6)=π2,则T=π,所以ω=2,则y=2sin(2x+φ),因为题图经过点(π3,2),所以2sin(2×π3+φ)=2,所以2π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,即φ=2kπ-π6,k∈Z,当k=0时,φ=-π6,所以y=2sin(2𝑥-π6),故选A.4.A设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=√3a,即R=√3,所以球的表面积S=4πR2=12π.故选A.5.D由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y=𝑘𝑥(k0)得k=1×2=2,故选D.6.A由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得|𝑎×1+4-1|√𝑎2+1=1,解得a=-43,故选A.易错警示圆心的坐标容易误写为(-1,-4)或(2,8).7.C由三视图知圆锥的高为2√3,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为12×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π,圆柱的侧面积为4×4π=16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C.8.B行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P=2540=58,故选B.9.C执行程序框图,输入a为2时,s=0×2+2=2,k=1,此时k2不成立;再输入a为2时,s=2×2+2=6,k=2,此时k2不成立;再输入a为5,s=6×2+5=17,k=3,此时k2成立,结束循环,输出s为17,故选C.10.D函数y=10lgx的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lgx的值域为R,排除B,故选D.易错警示利用对数恒等式将函数y=10lgx变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.11.Bf(x)=1-2sin2x+6sinx=-2(sin𝑥-32)2+112,当sinx=1时,f(x)取得最大值5,故选B.思路分析利用二倍角余弦公式及诱导公式将f(x)=cos2x+6cos(π2-x)转化为关于sinx的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sinx∈[-1,1].12.B由题意可知f(x)的图象关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线x=1对称,所以两个图象的交点关于直线x=1对称,且每对关于直线x=1对称的交点的横坐标之和为2,所以∑𝑖=1𝑚xi=m,故选B.疑难突破关于直线x=1对称的两点横坐标之和为2,由题意得出f(x)与y=|x2-2x-3|的图象均关于直线x=1对称是解题的关键.二、填空题13.答案-6解析因为a∥b,所以𝑚3=4-2,解得m=-6.易错警示容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.14.答案-5解析由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,z取得最小值,zmin=3-2×4=-5.15.答案2113解析由cosC=513,0Cπ,得sinC=1213.由cosA=45,0Aπ,得sinA=35.所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=6365,根据正弦定理得b=𝑎sin𝐵sin𝐴=2113.16.答案1和3解析丙的卡片上的数字之和不是5,则丙有两种情况:①丙的卡片上的数字为1和2,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和3,满足题意;②丙的卡片上的数字为1和3,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和2,这时甲与乙的卡片上有相同的数字2,与已知矛盾,故情况②不符合,所以甲的卡片上的数字为1和3.疑难突破先对丙分类讨论,确定出丙卡片上的数字情况再确定乙、甲是解决问题的关键.三、解答题17.解析(Ⅰ)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=25.(3分)所以{an}的通项公式为an=2𝑛+35.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=[2𝑛+35].(6分)当n=1,2,3时,1≤2𝑛+352,bn=1;当n=4,5时,2≤2𝑛+353,bn=2;当n=6,7,8时,3≤2𝑛+354,bn=3;当n=9,10时,4≤2𝑛+355,bn=4.(10分)所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)疑难突破充分挖掘[x]的意义,进而将{bn}的表达式类比分段函数给出,从而求出数列{bn}的前10项和.18.解析(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+50200=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(3分)(Ⅱ)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为30+30200=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(6分)(Ⅲ)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05(10分)调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.(12分)19.解析(Ⅰ)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得𝐴𝐸𝐴𝐷=𝐶𝐹𝐶𝐷,故AC∥EF.(2分)由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分)(Ⅱ)由EF∥AC得𝑂𝐻𝐷𝑂=𝐴𝐸𝐴𝐷=14.(5分)由AB