川大线性代数习题册答案4

二次型的基本概念一．如果不要求二次型的矩阵是对称的，那么它的矩阵表示唯一吗？解：不唯一二．是，其矩阵为n阶单位阵三．写出下列二次型的矩阵1．121242121秩为一2．0004001401014410秩为四四．写出下列矩阵对应的二次型：１．2212311213223(,,)2236fxxxxxxxxxxx２．1234121314232434(,,,)fxxxxxxxxxxxxxxxx五．填空题．１．22212344yyy２．r化二次型为标准形一．分别用配方法和初等变换化下列二次型为标准形，并写出所用的可逆线性变换．１．2222123112231122223(,,)434443fxxxxxxxxxxxxxxx2222122233322212233399(2)4()4641639(2)4()816xxxxxxxxxxxx令11222333238yxxyxxyx，则11232233332438xyyyxyyxy为可逆线性变换使：2221231239(,,)416fxxxyyy2．222123123121323(,,)254484fxxxxxxxxxxxx2221121323232221121323232222211232323232324854422454422(2)(2)(2)544xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx22221232323232(2)2(2)544xxxxxxxxx22222123223323232(2)2(44)544xxxxxxxxxxx22212323232(2)334xxxxxxx2221232332132(2)3()39xxxxxx令：112322333223yxxxyxxyx，所以可逆变换为：1123223334323xyyyxyyxy22212312313(,,)239fxxxyyy3．令：11221233xyyxyyxy，写成矩阵形式为XCY，其中：110110001C则：22123121323(,,)24fxxxyyyyyy22213233()(2)3yyyyy令：113223332zyyzyyzy，变换为：113223332yzzyzzyz，写成矩阵形式为：YPZ，其中：101012001P，则：2221233fzzz变换为：XCYCPZ，其中：113111001CP二．用正交变换化下列二次型为标准形，并写出所用的正交变换．１．解：120222023A，其特征值为：－１，２，５1时，对应特征向量为：221T，2时，对应特征向量为：212T，5时，对应特征向量为：122T作正交变换为：221333212333122333XY，22212325fyyy２．解：0041001441001400A，特征值为：－３，－５，３，５3时，对应特征向量为：1111T，5时，对应特征向量为：1111T，3时，对应特征向量为：1111T，5时，对应特征向量为：1111T．作正交变换：11112222111122221111222211112222XY，222212343535fyyyy三．解：2000303Aaa，20003(2)(3)(3)03EAaaaa特征值为：2,3,3aa有A的特征值分别为：１，２，５和0a知：2a1时，对应特征向量为：011T，2时，对应特征向量为：100T，5时，对应特征向量为：011T。所以，所用的正交变换为：0102202222022XY。二次型的分类一．选择题：1．D２．C３．CD二．证明以下各题：１．证明：,AB为n阶正定矩阵，故对于任意的0x有：0,0TTxAxxBx，所以有：()0,0TxABxx，故AB也是正定矩阵．２．证明：A正定有：0,0TxxAx，所以：0TTxAx，故TA正定．A正定有：A的特征值全大于零，故1A的特征值也全大于零，所以1A正定．而*1AAA，0A，所以*A也正定．３．证明：A为正定矩阵，所以A实对称矩阵，故存在正交矩阵Q，使得：11(,,),0,1,,nkAQdiagQkn22211(,,)nAQdiagQ，而A为正交矩阵，所以2TAAAE故有：2211(,,)ndiagQEQE所以有：11n，所以：1AQEQE４．证明：22(()())()()TTIAIAIAIAIAIA，所以2IA对称．为A的任意特征值，则2IA的特征值可表示为21，而为０或者纯虚数，所以210，所以2IA为正定矩阵．