工科数学历年试题及详解2009级下a评分标准

重庆大学试卷教务处07版第1页共3页重庆大学高等数学I-2课程试卷2009~2010学年第2学期开课学院：数学学院课程号：考试日期：考试方式：考试时间：分钟题号一二三四五六七八九十总分得分一、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）（1）函数),(yxf在点00(,)xy处可微是在该点处连续的充分条件.（2）函数33()zlnxy在（1，1）处的全微分dz=3322dxdy.（3）设D为：DdxdyyxRyx22222,二重积分的值323R.（4）微分方程xeyy的特解可设为*yxaxe.(5)若场函数),,(zyxF是保守场，则),,()0,0,0(),,(zyxrdzyxF是),,(zyxF的原函数.（6）已知,4,2ba，如果则相互垂直与，bhabha12.（7）),(yxf在点（a，b）可导，则xbxafbxafx),2(),(lim03(,)xfab.（8）函数yxzyxu2332222在点（1，1，2）处的梯度=(5,2,12).(9)设2i是方程0ypyqy的特征根，则方程的通解y=212(cossin)xecxcx.（10）极坐标系下二次积分dyyxfdxxx)(22032223cos04df()d.二、计算下列各题（每小题5分，共20分）（1）写出直线L:124x-yzxyz的对称式方程及参数式方程。解：L的方向向量(1,1,1)(2,1,1)(2,1,3)a（2分）令1x，得此直线上一点0(1,1,1)r（1分），所以直线的对称式方程及参数式方程分别为-1-1-1213xyz（1分）21131xtytzt（1分）（2）设z=1,,zzzxyxy求。解：方程1zzxy两边同时微分得2()ln(1)1zdzxdyydxzxydzxy（2分）所以22/[(1)(1ln(1))]/[(1)(1ln(1))]dzyzxyzxydxxzxyzxydy（1分）故22z/[(1)(1ln(1))],/[(1)(1ln(1))]xyzyzxyzxyxzxyzxy（2分）命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密重庆大学试卷教务处07版第2页共3页（3）设z=.),,2(22yxz，fxyxf求具有二阶连续偏导数解：21222zyffxx（3分）231222223224zyyyfffxyxxx（2分）（4）计算二重积分。RRxyxDdyxRD所围成的闭区域是由圆周其中)0(,22222解：原式22DRdd（2分）=cos222002RdRd（2分）=3R4()33（1分）三、解下列各题（每小题10分，共20分）(1)设()fx二阶可导，()2()yxzxfyfxy，且22xazbyxy，,0ab，求()fx.解：()'()2'()zyyyxfffxxxxy（3分）2222''()()zyyxxffxyxxyy（2分）2222()()yyaaffbyaayy（1分）令yxa得32221()()xfxfabxxxx取倒数得232111()2(x)fxfabxxx（2分）33232()33ababfxxx（1分）33412()363ababfxxcxcx（1分）(2)一曲线通过点)3,2(，它在两坐标轴间的任意切线段均被切点平分，求此曲线的方程。解：设曲线的方程为(,)0Fxy，则在点(,)xy处的切线方程为***()'()xyFyyxxyxxF（5分）由题意得'yxy（3分），所以xyc，6c，故曲线的方程为6xy（2分）重庆大学试卷教务处07版第3页共3页四、证明下列各题（每小题10分，共20分）（1）设cba,,为常数，1),(CvuF，证明曲面,0xaybFzczc上任一点处的切平面过某一定点。证明：在点000(,,)xyz处曲面的切平面方程为0102001020()[()()]()[()()]zcFxxFyyzzFaxFby（5分）取(,,)(,,)xyzabc得01020(c)[()()]zFaxFby=左边=右边（3分）故曲面在任一点处的切平面都过点(,,)abc.（2分）（2）设为分块光滑的有界闭曲面，向量场1CF，证明：0dSnFrot，其中n为的外法线方向。证明：设有向封闭曲线L将分为12,，L与1成右手系（3分），则有12rotFndSrotFdSrotFdSrotFdS（2分）=LLFdrFdr（Stokes公式）（3分）=0（2分）五、设(,)Xd是度量空间，利用度量空间的性质证明（10分）：(,)0,dxy,xyX证明：对,xyX，有0(,)(,)(,)dxxdxydyx（5分）=(,)(,)dxydxy（3分）=2(,)dxy（1分）故(,)0dxy（1分）