工程水文学第4章水文统计的基本知识

第四章水文统计的基本知识第一节概述..................................................................................................................2第二节概率的基本概念..............................................................................................2第三节随机变量及其概率分布..................................................................................3第四节水文频率曲线线型..........................................................................................5第五节频率曲线参数估计方法...............................................................................11第六节水文频率计算适线法....................................................................................12第七节相关分析........................................................................................................14小结............................................................................................................................18课前学习指导课程要求（1）了解概率、随机变量及其概率分布的基本概念；（2）了解水文频率曲线常用的线型，要掌握P-III型分布曲线和经验频率曲线的性质和计算方法；（3）了解频率曲线参数的估算方法，要掌握矩法估算参数的方法；（4）掌握水文频率计算适线法的具体步骤和方法，特别是参数对频率曲线的影响；（5）了解相关分析的基本概念和方法，特别要掌握两变量直线相关、曲线相关的方法和具体步骤。课时安排共需6个课内学时，10个课外学时课前思考频率与概率有何区别与联系?某水利枢纽施工期预定3年,施工用的围堰的设计标准按照20年一遇洪水设计,在施工期内发生设计洪水的概率、一次也不发生设计洪水的概率？水文变量常用线型与参数估计方法？进行回归（相关）分析，其目的是什么？如何提高参数估计的精度？学习重点掌握Pearson—III型分布曲线性质与计算方法，如何利用适线法估计水文系列参数；难点如何灵活应用概率论原理（如古典概率，概率的加法和乘法定律等）计算事件发生的概率，如何调整参数使得水文理论频率曲线与经验点据拟合好？第一节概述一、水文现象的特性水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面，也具有偶然性的一面。1、必然现象是指在一定条件下，必然出现或不出现的现象；水文学中称水文现象的这种必然性为确定性。2、偶然现象是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象，偶然现象也称随机现象；偶然现象仍然是有规律的，一般称为统计规律。二、水文统计规律的研究-水文统计数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论,而由随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规律的学科称为数理统计学。概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上则称为水文统计。三、水文统计的任务水文统计的任务就是研究和分析水文随机现象的统计变化特性。并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化做出在概率意义下的定量预估，以满足工程规划、设计、施工以及运营期间的需要。水文统计的基本方法和内容具体有以下两点：1、根据已有的资料（样本），进行频率计算，推求指定频率的水文特征值；2、研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、插补水文特征值和作水文预报。第二节概率的基本概念一、事件在概率论中,对随机现象的观测叫做随机试验,随机试验的结果称为事件。事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件三种。二、概率随机事件的概率反映事件发生的可能性大小。随机事件的概率可由下式计算：（4-2-1）式中：P（A）——在一定条件组合下，出现随机事件A的概率；k——出现随机事件A的结果数；n——在试验中所有可能出现的结果数。随机事件的概率介于0与1之间。三、频率设随机事件A在重复n次试验中出现的m次，则称为事件A在n次试验中出现的频率。注意区别概率与频率计算中n的含义不同，频率随试验次数而变，但概率是客观存在的。四、概率加法定理和乘法定理1、两事件和的概率两个互斥事件A、B出现的概率等于这两个事件的概率的和，即P（A+B）=P（A）+P（B）式中:P（A+B）-实现事件A或事件B的概率；P（A）-事件A的概率；P（B）-事件B的概率。2、条件概率两个事件A、B，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为事件B在条件A下事件B条件概率,记为:P（B︱A）3、两事件积的概率两事件积的概率，等于其中一事件的概率乘以另一事件在已知前一事件发生的条件下的条件概率，即P（AB）=P（A）×P（B︱A），P（A）≠0P（AB）=P（B）×P（A︱B），P（B）≠0若两个事件是相互独立的，它们共同出现的概率等于事件A的概率乘以事件B的概率，即P（AB）=P（A）×P（B）第三节随机变量及其概率分布一、随机变量随机试验的结果可以是一个数量，也有些虽然不是数量，但可以用数量来表示。这样的量随着试验的重复可以取得不同的数值，而且带有随机性，我们称这样的变量为随机变量。随机变量可分为两大类型：离散型和连续型。二、随机变量的概率分布1、离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布一般以分布列表示，如表4-3-1。表4-3-1Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…注意：∑pn=1。2、连续型随机变量的概率分布对于连续型随机变量，无法研究个别值的概率，只能研究某个区间的概率，或是研究事件X≥x的概率，以及事件X≤x的概率，后面二者可以相互转换，水文统计中常用X≥x的概率及其分布。3、分布函数设事件X≥x的概率用P（X≥x）来表示，它是随随机变量取值x而变化的，所以P（X≥x）是x的函数，称为随机变量x的分布函数，记为F（x），即F(x)=P(X≥x)（4-3-1）它代表随机变量X大于等于某一取值x的概率。其几何图形如图4-3-1（b）所示，图中纵坐标表示变量x，横坐标表示概率分布函数值F（x），在数学上称此曲线为分布曲线，水文统计中称为随机变量的累积频率曲线，简称频率曲线。注意在一般的概率论与数理统计的教材中，分布函数的定义为F(x)=P(Xx)。4、分布密度分布函数导数的负值称为密度函数，记为f(x)，即:（4-3-2）密度函数的几何曲线称密度曲线。水文中习惯以纵坐标表示变量x,横坐标表示概率密度函数值f(x)，如图4-3－1（b）所示。实际上，分布函数与密度函数是微分与积分的关系。因此，已知f(x)，则:其对应关系可在图4-3-1中看出来。三、随机变量的统计参数说明随机变量统计规律的数字特征，称为随机变量的统计参数。统计参数有总体统计参数与样本统计参数之分。水文计算中常用的样本统计参数有均值、均方差、变差系数和偏态系数。1、均值均值表示系列中变量的平均情况。设某水文变量的观测系列（样本）为x1，x2，…,xn，则其均值为:（4-3-4）令称模比系数，则:（4-3-5）2、均方差均方差是反映系列中各变量集中或离散的程度。研究系列集中或离散程度，常采用方差Dx或均方差s，计算公式为（4-3-6）（4-3-7）3、变差系数水文计算中用均方差与均值之比作为衡量系列的相对离散程度的一个参数，称为变差系数，或称离差系数、离势系数，用Cv表示，其计算式为上式说明，Cv是变量x换算成模比系数k以后的均方差。4、偏态系数在数理统计中采用偏态系数Cs作为衡量系列不对称程度的参数，其计算式为:上式右端的分子、分母同除以，则得:第四节水文频率曲线线型水文分析计算中使用的概率分布曲线俗称水文频率曲线，习惯上把由实测资料（样本）绘制的频率曲线称为经验频率曲线，而把由数学方程式所表示的频率曲线称为理论频率曲线。所谓水文频率分布线型是指所采用的理论频率曲线(频率函数)的型式（水文中常用线型皮尔逊Ⅲ型分布型等），它的选择主要取决于与大多数水文资料的经验频率点据的配合情况。分布线型的选择与统计参数的估算，一起构成了频率计算的两大内容。一、正态分布1、正态分布的密度函数及其参数正态分布具有如下形式的概率密度函数：（－∞﹤x﹤＋∞）（4-4-1）式中----平均数；σ---标准差；2、频率格纸正态频率曲线在普通格纸上是一条规则的S形曲线，它在P=50%前后的曲线方向虽然相反，但形状完全一样。水文计算中常用的一种“频率格纸”其横坐标的分划就是按把标准正态频率曲线拉成一条直线的原理计算出来的。这种频率格纸的纵坐标仍是普通分格，但横坐标的分格是不相等的，中间分隔较密，越往两端分格越稀，其间距在P=50%的两端是对称的。现以横坐标轴的一半（0~50%）为例，说明频率格纸间距的确定。通过积分或查有关表格，可在普通格纸上绘出标准正态频率曲线（见图4-4-2中①线）。由①线知，P=50%时，x=0；P=0.01%时，x=3.72。根据前述概念，在普通格纸上通过（50%，0）和（0.01%，3.72）两点的直线即为频率格纸上图4-4-2频率格纸的划分对应的标准正态频率曲线（见图-4-2中②线）。由①线和②线即可确定频率格纸上横坐标的分格。为醒目起见，我们将它画在横线上。例如，在普通分格（横轴）的P=1%处引垂线交S形曲线（①线）于A点，作水平线交直线（②线）于B点，再引垂线交O￠P￠轴于C点，C点即为频率格纸上P=1%的位置。同理可确定频率格纸上其他横坐标分格（P=5%，10%，20%，…）的位置。把频率曲线画在普通方格纸上，因频率曲线的两端特别陡峭，又因图幅的限制，对于特小频率或特大频率，尤其是特大频率的点子很难点在图上。现在，有了这种频率格纸，就能较好地解决这个问题，所以在频率计算时，一般都是把频率曲线点绘在频率格纸上。二、皮尔逊Ⅲ（P－Ⅲ,或Pearson--Ⅲ）型曲线1、皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图4-4-3），概率密度函数为:式中：Γ（α）―α的伽玛函数；α、β、a0―分别为皮尔逊Ⅲ型分布的形状尺度和位置未知参数，α﹥0，β﹥0。图4-4-3皮尔逊Ⅲ型概率密度曲线显然，α、β、a0确定以后，该密度函数也随之确定。可以推证，这三个参数与总体的三个统计参数、Cv、Cs具有下列关系皮尔逊III型密度曲线的形状主要决定于参数Cs（或α），从图4-4-4可以区分为以下四种形状：（1）当0a1，即2Cs∞时，密度曲线呈乙形，以x轴和x=b直线为渐近线，如图4-4-4(a)所示。图4-4-4（a）皮尔逊密度曲线形状变化图（2）当a=1，即Cs=2时，密度曲线退化为指数曲线，仍呈乙形，但左端截止在曲线起点，右端仍伸到无限，如图4-4-4(b)所示。图4-4-4（b）皮尔逊密度曲线形状变化图（3）当1a2，即Cs2时，密度曲线呈铃形，左端截止在曲线起点，且在该处与直线x=b相切，右端无限，如图4-4-4(c)所示。图4-4-4（c）皮尔逊密度曲线形状变化图（4）当a2，即Cs时，密度曲线呈铃形，起点处曲线与x轴相切，右端无限，如图4-4-4(d)所示。图4-4-4（d）皮尔逊密度曲线形状变化图不同偏态系数情况下，其分布密度曲线形状差异很大,Cs大于等于2时为乙型,Cs大于零小于2时为铃形。2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制