存在性问题(312)

1存在性问题一、具有某些性质的数学对象是否存在1.（08广东茂名25题）（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-23x2+bx+c经过A（0,－4）、B（x1,0）、C（x2,0）三点，且x2-x1＝5.（1）求b,c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱表；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由。2.（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB＝1,OB=√3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转600后得到矩形EFOD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A,E,D。（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O,B,P,Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在请求出点P,点Q的坐标；若不存在，请说明理由。3.（重庆市綦江县）已知：抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点B（12,0）和C(0,-6)，对称轴为x=2。（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由。（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由。24.（山东省烟台市）如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C。（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。5.（重庆市江津区）如图，抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A(-1,0),B(1,0)，与y轴交于点C。（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A,M,N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。6.（四川成都市）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(-3,0)，若将经过A,C两点的直线y=k+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=-2。（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段AC上一点，设△APB、△BPC的面积分别为S△ABP、S△BPC，且S△ABP:S△BPC=2:3，求点P的坐标；（3）设⊙Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由，并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐标轴同时相切？7．如图，在平面直角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线y=16x2+bx+c过点O、A两点。（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线y=2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说3明理由；（3）如图，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。8．（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-√3x-√3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2-2√33x+c(a≠0)经过A,B,C三点。（1）求过A,B,C三点抛物线的解析式，并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由。二、数学对象是否具有某些性质1．（2009年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G。如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。2．（黄冈市15分）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)顶点为C（1,1）且过原点O。过抛物线上一点P(x,y)向直线y=54作垂线，垂足为M，连FM（如图）。（1）求字母a,b,c的值上；（2）在直线x=1上有一点F(1,34)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；4S四边形CFGHS四边形CMNO（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N(1,t)，使PM=PN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由。3．（2009鄂州）（12分）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CF-EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO.（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；（2）令m=-------------，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由。（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=13，Q为AE上一点且QF=23，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标？若不存在，请说明理由。4．（2009年湖南株洲）（12分）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=900，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为(3,m)(m0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D。（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值。5．（四川凉山州）已知：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，顶点(1,-4)，与x轴交于A、B两点，A(-1,0).（1）求这抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于E，依次连接A、D、B、E，点Q为AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，试判断QFBE+QGAD是否为定值；若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN⊥EQ，MN分别与边AE、BE相交于M、N（M与A、E不重合，N与E、B不重合），试判断QAQB=EMEN是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。