常微分方程04秋模拟试题

常微分方程试题得分评卷人一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．方程0d)1(1)d(22yxyxyx所有常数解是．2．方程04yy的基本解组是．3．方程1ddyxy满足解的存在唯一性定理条件的区域是．4．函数组)(,),(),(21xxxn在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．5．若)(),(21xyxy是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点．得分评卷人二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程yxydd的奇解是（）．（A）xy（B）1y（C）1y（D）0y7.方程21ddyxy过点)1,2(共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三8．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）n（B）n-1（C）n+1（D）n+29．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解10．如果),(yxf，yyxf),(都在xoy平面上连续，那么方程),(ddyxfxy的任一解的存在区间（）．（A）必为),(（B）必为),0(（C）必为)0,(（D）将因解而定得分评卷人三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：11.xyxyxytandd12.1ddxyxy13.0dd)e(2yxxyxy14．1)ln(yxy15．022xyyy得分评卷人四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程xyye21的通解．17．求下列方程组的通解yxtyyxtx43dd2dd．得分评卷人五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．在方程)()(ddyyfxy中，已知)(yf，)(x在),(上连续，且0)1(．求证：对任意0x和10y，满足初值条件00)(yxy的解)(xy的存在区间必为),(．19．在方程0)()(yxqyxpy中，已知)(xp，)(xq在),(上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切．常微分方程试题答案及评分标准（供参考）一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．1,1xy2．xx2cos,2sin3．}0),{(2yRyxD，（或不含x轴的上半平面）4．充分5．没有二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D7．B8．A9．C10．D三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解令uxy，则xuxuxydddd，代入原方程，得uuxuxutandd，uxuxtandd（2分）当0tanu时，分离变量，再积分，得Cxxuulndtand（4分）Cxulnlnsinln即通积分为：Cxxysin（6分）12．解齐次方程的通解为Cxy（2分）令非齐次方程的特解为xxCy)(代入原方程，确定出CxxCln)(（5分）原方程的通解为Cxy+xxln（6分）13．解积分因子为21)(xx（3分）原方程的通积分为1012dd)(eCyxxyyxx即1e,eCCCxyx（6分）14．解令py，则原方程的参数形式为pyppxln1（2分）由基本关系式yxydd，有ppppxyy)d11(dd2pp)d11(（4分）积分得Cppyln得原方程参数形式通解为Cppyppxlnln1（6分）15．解原方程可化为0)(2xyy（2分）于是12ddCxxyy（4分）积分得通积分为23123121CxxCy（6分）四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解对应的齐次方程的特征方程为：012特征根为：1,121故齐次方程的通解为：xxCCyee21（4分）因为1是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为xAxxye)(1（6分）代入原方程，有xxxxAxAxAe21eee2，可解出41A．故原方程的通解为xxxxCCye41ee21（10分）17．解方程组的特征方程为04321EA即0232特征根为11，22（2分）11对应的解为tbayxe1111其中11,ba是11对应的特征向量的分量，满足0014321111ba可解得1,111ba．（5分）同样可算出22对应的特征向量分量为3,212ba．（8分）所以，原方程组的通解为ttttCCyx2221e32eee（10分）五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．证明由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．（2分）显然1y是方程的两个常数解．（4分）任取初值),(00yx，其中),(0x,10y．记过该点的解为)(xyy，由上面分析可知，一方面)(xyy可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过1y，下方不能穿过1y，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为),(．（10分）19．证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(．（2分）显然，该方程有零解0)(xy．（5分）假设该方程的任一非零解)(1xy在x轴上某点0x处与x轴相切，即有)()(0101xyxy=0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(xy可知),(,0)(1xxy，这是因为零解也满足初值条件)()(0101xyxy=0，于是由解的惟一性，有xxyxy,0)()(1,()．这与)(1xy是非零解矛盾．（10分）