常微分方程参考答案

常微分方程参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．22．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．xxxe,e4．开5．1y二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D7．C8．B9．C10．A三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解当0y，1y时，分离变量取不定积分，得Cxyyydlnd通积分为xCyeln12．解令xuy，则xuxuxydddd，代入原方程，得21dduxux分离变量，取不定积分，得Cxxuulnd1d2（0C）通积分为：Cxxylnarcsin13．解方程两端同乘以5y，得xyxyy45dd令zy4，则xzxyydddd45，代入上式，得xzxzdd41通解为41e4xCzx原方程通解为41e44xCyx14．解因为xNxyM2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00yx，原方程的通积分为Cyyxxyyx020dd2即Cyyx323115．解原方程是克莱洛方程，通解为32CCxy四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解对应齐次方程的特征方程为052，特征根为01，52，齐次方程的通解为xCCy521e因为0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为)()(21CBxAxxxy代入原方程，比较系数确定出31A，51B，252C原方程的通解为xxxCCyx2525131e2352117．解先解出齐次方程的通解ttCttCyxcossinsin-cos21令非齐次方程特解为tttCtttCyxcossin)(sin-cos)(~~21)(),(21tCtC满足0sin1)()(cossinsincos21ttCtCtttt解得1)(,sincos)(21tCtttC积分，得ttCsinln)(1，ttC)(2通解为ttttttttttCttCyxcossinlnsin-sinsinlncoscossinsin-cos21五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．证明设)(xyy是方程任一解，满足00)(yxy，该解的表达式为0000ede)(e)()(0xxxxxsxxssfyxy取极限0000ede)(limelim)(lim)(0xxxxxsxxxxxssfyxy=000000de)(,0ee)(limde)(,00)()()(xxsxxxxxxxsssfxfssf若若19．证明设)(1xy，)(2xy是方程的基本解组，则对任意),(x，它们朗斯基行列式在),(上有定义，且0)(xW．又由刘维尔公式x0d)(0e)()(xsspxWxW，),(0x)(e)()(x0d)(0xpxWxWxssp由于0)(0xW，0)(xp，于是对一切),(x，有0)(xW或0)(xW故)(xW是),(上的严格单调函数．