常微分方程参考试卷及答案

常微分方程参考试卷及答案一、填空（30分）1、)(xygdxdy称为齐次方程，)()()(2xRyxQyxPdxdy称为黎卡提方程。2、如果),(yxf在R上连续且关于y满足利普希兹条件，则方程),(yxfdxdy存在唯一的解)(xy，定义于区间hxx0上，连续且满足初始条件00)(yx，其中),min(Mbah，),(max),(yxfMRyx。3、若)(txii(1，2，……，)n是齐线性方程的n个解，)(tw为其伏朗斯基行列式，则)(tw满足一阶线性方程0)()()(1'twtatw。4、对逼卡逼近序列，kkkkxxkMLxx)(!)()(011。5、若)(t和)(t都是xtAx)('的基解矩阵，则)(t和)(t具有关系Ctt)()(。6、方程0),(),(dyyxNdxyxM有只含x的积分因子的充要条件是)(xNxNyM。有只含y的积分因子的充要条件是)(yMxNyM。7、方程212ydxdy经过)0,0(点的解在存在区间是),(。二、计算（60分）1、求解方程0)(42dxyxyxdy。解：所给微分方程可写成0)(42dxyxydxxdy即有0)(42dxyxxyd上式两边同除以4)(xy，得01)()(24dxxxyxyd由此可得方程的通解为131)(31cxxy即333231ycxyx)3(1cc2、求解方程322ppy解：所给方程是关于y可解的，两边对x求导，有dxdpppp)62(2（1）当0p时，由所给微分方程得0y；（2）当dppdx)62(时，得cppx232。因此，所给微分方程的通解为cppx232，322ppy（p为参数）而0y是奇解。3、求解方程1442'''tteexxx解：特征方程0442，22,1，故有基本解组te2，tte2，对于方程texxx44'''，因为1不是特征根，故有形如tAetx)(1的特解，将其代入texxx2'''44，得teAet222，解之得21A，对于方程144'''xxx，因为0不是特征根，故有形如Atx)(3的特解，将其代入144'''xxx，得41A，所以原方程的通解为4121)()(22212tttetetccetx4、试求方程组Axx'的一个基解矩阵，并计算Atexp，其中2112A解：0)det()(AEp，31，32，均为单根，设1对应的特征向量为1v，则由0)(11vAE，得)32(1v,0取3211v，同理可得1对应的特征向量为3212v，则131)(vett，232)(vett，均为方程组的解，令))(),(()(21ttt，又03323211)0(det)0(w，所以)(t即为所求基解矩阵ttttreee3333)32()32(。5、求解方程组51yxdtdyyxdtdx的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。解：令0501yxyx，得32yx，即奇点为（2，-3）令32yYxX，代入原方程组得YXdtdYYXdtdX，因为021111，又由0211112，解得21，22为两个相异的实根，所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。6、求方程2yxdxdy经过（0，0）的第二次近似解。解：0)(0x，20121)0,(0)(xdxxfxx，5202220121)21,(0)(xxdxxxfxx。三、证明（10分）假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组mtceAxx'有一解形如mtpet)(其中c，p是常数向量。证：设方程有形如mtpet)(的解，则p是可以确定出来的。事实上，将mtpe代入方程得mtmtmtceApempe，因为0mte，所以cApemp，cPAmE)(（1）又m不是矩阵A的特征值，0)det(AmE所以1)(AmE存在，于是由（1）得cAmEp1)(存在。故方程有一解mtmtpeceAmEt1)()(