常微分方程期中考试试卷

常微分方程期中考试试卷(7)一、填空题1．方程yxxytandd2的所有常数解是．2．方程0d)1(1)d(22yxyxyx的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程0yy的基本解组是．二、选择题1．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）n（B）n-1（C）n+1（D）n+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3.方程21ddyxy过点)1,2(共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程xxyxydd（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程yxydd的奇解是（）．（A）xy（B）1y（C）1y（D）0y三、计算题1.x'y=22yx+y2.tgydx-ctydy=03.0dd)2(yxxyx4.1ddxyxy5.0d)ln(d3yxyxxy四、求下列方程的通解或通积分1.)1(dd2yxxyy2.2)(ddxyxyxy3.xyxy2e3dd试卷答案一、填空题1.ky，,2,1,0k2.1y，1x3.24.xcos，xsin二、选择题1.A2.B3.B4.C5.D三、计算题1．解：将方程改写为'y=21xy+xy（*）令u=xy,得到'y=x'u+u,则(*)变为xdxdu=u1,变量分离并两边积分得arcsinu=lnu+lnC,故方程的解为arcsinxy=lnCx。2．解：变量分离ctgxdy=tgydx,两边积分得ln(siny)=-lnxcos+C或sinycosx=C(*)另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k(k=0、1…)，x=t+2(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。3.方程化为xyxy21dd令xuy，则xuxuxydddd，代入上式，得uxux1dd分量变量，积分，通解为1Cxu原方程通解为xCxy24．解齐次方程的通解为Cxy令非齐次方程的特解为xxCy)(代入原方程，确定出CxxCln)(原方程的通解为Cxy+xxln5．解因为xNxyM1，所以原方程是全微分方程取)0,1(),(00yx，原方程的通积分为Cyyxxyyx031dd即Cyxy441ln四、求下列方程的通解或通积分1．解当1y时，分离变量得xxyyydd12等式两端积分得12dd1Cxxyyy122211ln21Cxy1222e,e1CxCCy方程的通积分为2e12xCy2．解令xuy，则xuxuydd，代入原方程，得2dduuxuxu，2dduxux当0u时，分离变量，再积分，得Cxxuudd2Cxuln1，Cxuln1即通积分为：Cxxyln3．解齐次方程的通解为xCy3e令非齐次方程的特解为xxCy3e)(代入原方程，确定出CxCx5e51)(原方程的通解为xCy3e+x2e51