常微分方程解题方法总结

常微分方程解题方法总结来源：文都教育复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍.接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题.为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结.著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要.以常微分方程为例，本部分内容涉及可分离变量、一阶齐次、一阶非齐次、全微分方程、高阶线性微分方程等内容，在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多，遇到具体的题目不知该如何下手，这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法.下面以表格的形式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询.常微分方程(名称、形式)通解公式或解法可分离变量的方程)()(ygxfdxdy当0)(yg时，得到dxxfygdy)()(，两边积分即可得到结果；当0)(0g时，则0)(xy也是方程的解.齐次微分方程)(xygdxdy解法：令xyu，则udxxdudy，代入得到)(ugudxdux化为可分离变量方程一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy()()(())PxdxPxdxyeQxdxCe伯努利方程nyxQyxPdxdy)()(（n≠0,1）解法：令nyu1，有dyyndun)1(，代入得到)()1()()1(xQnuxPndxdu二阶常系数齐次线性微分方程0ypxyqxy求解特征方程：20pq三种情况：(1)两个不等实根：12,通解：1212xxycece(2)两个相等实根：12通解：12xyccxe(3)一对共轭复根：,i通解：12cossinxyecxcx二阶常系数非齐次线性微分方程()ypxyqxyfx通解为0ypxyqxy的通解与()ypxyqxyfx的特解之和.常见的()fx有两种情况：（1）)()(xPexfmx若不是特征方程的根，令特解xmexQy)(；若是特征方程的单根，令特解()xmyxQxe；若是特征方程的重根，令特解*2()xmyxQxe；（2）()[()cos()sin]xmnfxePxxpxx当i不是特征值时，令12*[()cos()sin]xnnyeQxxQxx，当i是特征值时，令*[()cos()sin]xnnyxeQxxQxx以上以常微分方程为例总结了一些常见题型的解题方法，对于其他知识点也可用类似的形式进行总结，一方面加深印象，另一方面梳理清楚知识点之间的联系，这也是复习中比较实用的方法.