常微分方程课后习题部分答案

118.设),(yxf及yf连续,试证方程0),(dxyxfdy为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.证:必要性若该方程为线性方程,则有)()(xQyxPdxdy,此方程有积分因子dxxPex)()(,)(x只与x有关.充分性若该方程有只与x有关的积分因子)(x.则0),()()(dxyxfxdyx为恰当方程,从而dxxdyyxfx)()),()((,)()(xxyf,)()()()()()()()(xQyxPxQyxxxQdyxxf.其中)()()(xxxP.于是方程可化为0))()((dxxQyxPdy即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0则yuyf=uf+uyyf+yfyu=)(gfxyf+)(gfxyyfy-yf222)()(gfyxygxyyfxygfx=2)(gfxyyfgyygyf=2)(gfxyxyxyfgyxyxygf=2)(gfxyfgxygf而xuxg=ug+uxxg+xgxu=)(gfxyg+)(gfxyxgx-xg222)()(gfyxxgxyxfxygfy2=2)(gfxyxxyxyfxgxxyxygxf=2)(gfxyfgxygf故yuyf=xuxg，所以u是方程得一个积分因子21．假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)满足关系xNyM=Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）有积分因子u=exp(dxxf)(+dyyg)()证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即证xuNyuM)()(uyM+Myu=uxN+Nxuu(yM-xN)=Nxu-Myuu(yM-xN)=Nedyygdxxf)()(f(x)-Medyygdxxf)()(g(y)u(yM-xN)=edyygdxxf)()((Nf(x)-Mg(y))由已知条件上式恒成立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.解：已知伯努利方程为：;,oyyxQyxPdxdyn两边同乘以ny，令nyz，,11xQnzxPndxdz线性方程有积分因子：dxxPndxxPnee11，故原方程的积分因子为：dxxPndxxPnee11，证毕！23、设yx,是方程0,,dyyxNdxyxM的积分因子，从而求得可微函数yxU,，使得.NdyMdxdU试证yx,~也是方程0,,dyyxNdxyxM的积分因子的充要条件是,,~Uyx其中t是t的可微函数。证明：若u~，则NuMuyMyuMuyMyMuyM~3又yMMuNuyMMuNuxNxNuxN~~即~为0,,dyyxNdxyxM的一个积分因子。24、设yxyx,,,21是方程0,,dyyxNdxyxM的两个积分因子，且21常数，求证c21（任意常数）是方程0,,dyyxNdxyxM的通解。证明：因为21,是方程0,,dyyxNdxyxM的积分因子所以oNdyMdxii2,1i为恰当方程即xNyMyMxNiii，2,1i下面只需证21的全微分沿方程恒为零事实上：021212212221122222212122222111221xNyMxNyMNdxyMxNyMxNNdxdxyNMdxxdxyNMdxxdyydxxdyydxxd即当c21时，c21是方程的解。证毕！