常微分的试题与答案

1、解方程234465dyxydxxy1．解：令23uxy，4232325dudyudxdxu，则72225duudxu，25722ududxu，9171=221427dxu，两边积分得2239ln2314(3)72xyyxc即为方程的通解。3解方程23dyyydxxx解：令uxy则：21uxudxduxudxdy即21uxdxdux得到22xdxudu故cxu11即211xxcy另外0y也是方程的解.4解方程2222()xyyxyyx。解：两边同除以x，方程可化为：222()dyyxyyxdxx令yux，则22222()duxuuuxuxxdx即332()duxuudx332duxdxuu3111()22(1)2(1)duxdxuuu两边积分得4211xceu5、解方程342350xydxxdyyydxxdy解：两边同乘以yx2得：05324352423ydyxdxyxydyxdxyx05324yxdyxd故方程的通解为：cyxyx53247解方程422yyxy，并求其奇解。解：令pdxdy，则422pxxpy，两边对x求导，得dxdppxxpdxdpxpp324422202213pdxdpxxp从0213xp得0p时，2343,21pypx；从02pdxdpx得222,cpcypcx，0p为参数，0c为任意常数.经检验得222cpcypcx，（0p）是方程奇解.8解Ricccati方程22'21xxxyeyyee解：原方程可转化为：(*),2322xxxxeeyeyey观察得到它的一个特解为：xey，设它的任意一个解为zeyx，代入（*）式得到：(**))(2)()(322xxxxxxxeezeezeedxzed由（**）-（*）得：2zedxdzx变量分离得：dxezdzx2两边同时积分：cezx1即：cezx1故原方程的解为xxecey111、求具有性质()()()1()()xtxsxtsxtxs的函数()xt，已知(0)x存在解：令t=s=0x(0)=)0(1)0()0(xxx=)0()0(1)0(2xxx若x(0)0得x2=-1矛盾。所以x(0)=0.x’(t)=)(1)(0(')()(1[))(1)((lim)()(lim22txxtxtxttxtxttxttx)))(1)(0(')(2txxdttdxdtxtxtdx)0(')(1)(2两边积分得arctgx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=tg[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=tg[x’(0)t].12、试求(,)(,)0MxydxNxydy分别具有形式为()()xyxy，的积分因子各自的充要条件。解：若方程具有)(yx为积分因子，xNyM)()(（)(yx是连续可导）xNxNyMyM)(xNyMxNyM)1(令yxzdzdxzdzdx，dzdy.)(yMxNdzdNdzdM，)()(yMxNdzdNM，NMyMxNd，dzyxdz)(方程有积分因子)(yx的充要条件是：NMyMxN是yx的函数，此时，积分因子为dzzeyx)()(.)2(令yxzdzdyxzdzdx，dzdxyzdzdy)(yMxNdzdNydzdMx)()(yMxNdzdNyMxNyMxyMxNd此时的积分因子为dzNyMxyMxNexy)(14、试证明方程：22dxtxdt的任意解的存在区间都是有限的。证明显然000(,)ptxRR，方程过0p的解均存在唯一，而且均可延伸至无穷，但这并不意味解关于t可以无限延拓。下证它的存在区间有限。设()xxt是方程适合初始条件00()xtx的解。令其右方的最大存在区间为0[,)tb。若0b，则存在区间显然有限。若0b，取1t适合10tb，则在1[,)tb上有221()()dxttxtdt或221()()dxtdttxt，10ttb，两端从1t到t积分得11111()1()arctanarctanxtxtttttt。由此可得110ttt，1ttb。因此，解的最大存在区间有限。同理可证左方最大存在区间也是有限的。15、如果函数,fxy于带域x上连续且关于y满足利普希茨条件，则cauchy问题00(,)()dyfxydxyxy的解于整个区间,上存在且唯一，试证明之。证明:证明方法类似于教材中定理1.由教材中命题1我们知，方程(,),dyfxydx满足条件00yxy的解等价于求积分方程00,xxyyfxydx，,x的连续解，因此我们只要证明上述积分方程的解的存在唯一性即可。现取00yxy，0100,xxyxyfyd001,xnnxyxyfyd①易见nyx在x上存在且连续。下面证明函数列nyx在x上一致收敛。考察级数011kkkyxyxyx，,x。②取0,max,xMfxy，由①式有01000,xxyxyxfydMxx,③及02110,,xxyxyxfyfyd.利用利普希茨条件及③，得到000211010020,,L()2!xxxxxxyxyxfyfydyxyxdLMxdMLxx。于是根据数学归纳法可知：1110()()!!kkkkkkMLMLyxyxxxkk。上式右端是正项收敛级数11()!kkkMLk的一般项。由Weierstrass判别法，知级数②在x上一致收敛，因而函数列()nyx在区间,上一致收敛。现设lim()()nnyxyx，易知()yx在区间,上连续，且(,())nfxyx在区间,上一致收敛于(,())fxyx。因而对①式两端取极限，即得00,xxyxyfyd，解的存在唯一性得证。