幂函数及其性质专题教案

星辰教育培训中心-1-幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一般地，形如yx（xR）的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数.如11234,,yxyxyx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、函数的图像和性质（1）yx（2）12yx（3）2yx（4）1yx（5）3yx用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：yx2yx3yx12yx1yx定义域奇偶性在第Ⅰ象限单调增减性定点（公共点）3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.三．两类基本函数的归纳比较：①定义对数函数的定义：一般地，我们把函数logayx（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．幂函数的定义：一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数.②性质对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R；星辰教育培训中心-2-过点（1，0），即当x=1，y=0；在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，在[0，+∞]上，yx、2yx、3yx、12yx是增函数，在（0，+∞）上，1yx是减函数。【例题选讲】例1．已知函数2531mfxmmx，当m为何值时，fx：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是0,上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m或1m（2）1m（3）45m（4）25m（5）1m变式训练：已知函数2223mmfxmmx，当m为何值时，fx在第一象限内它的图像是上升曲线。简解：220230mmmm解得：,13,m小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。例2．比较大小：（1）11221.5,1.7（2）33(1.2),(1.25)（3）1125.25,5.26,5.26（4）30.530.5,3,log0.5解：（1）∵12yx在[0,)上是增函数，1.51.7，∴11221.51.7（2）∵3yx在R上是增函数，1.21.25，∴33(1.2)(1.25)（3）∵1yx在(0,)上是减函数，5.255.26，∴115.255.26；∵5.26xy是增函数，12，∴125.265.26；综上，1125.255.265.26（4）∵300.51，0.531，3log0.50，∴30.53log0.50.53星辰教育培训中心-3-例3．已知幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．解：∵幂函数223mmyx（mZ）的图象与x轴、y轴都无交点，∴2230mm，∴13m；∵mZ，∴2(23)mmZ，又函数图象关于原点对称，∴223mm是奇数，∴0m或2m．例4、设函数f（x）＝x3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围．解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝3y，∴f－1（x）＝x31．（2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x31的图象都经过点（0，0）和（1，1）．∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1；f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0．点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．例5、求函数y＝52x＋2x51＋4（x≥－32）值域．解析：设t＝x51，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．当t＝－1时，ymin＝3．∴函数y＝52x＋2x51＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．【同步练习】1.下列函数中不是幂函数的是（）Ａ．yxＢ．3yxＣ．2yxＤ．1yx答案：Ｃ2.下列函数在,0上为减函数的是（）Ａ．13yxＢ．2yxＣ．3yxＤ．2yx答案：Ｂ星辰教育培训中心-4-3.下列幂函数中定义域为0xx的是（）Ａ．23yxＢ．32yxＣ．23yxＤ．32yx答案：Ｄ4．函数y＝（x2－2x）21－的定义域是（）A．{x|x≠0或x≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］D．（0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域．答案：B5．函数y＝（1－x2）21的值域是（）A．［0，＋∞］B．（0，1）C．（0，1）D．［0，1］解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2，则y＝t．∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．答案：D6．函数y＝52x的单调递减区间为（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞］D．（－∞，＋∞）解析：函数y＝52x是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B．答案：B7．若a21＜a21－，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a＞0C．1＞a＞0D．1≥a≥0解析：运用指数函数的性质，选C．答案：C8．函数y＝32)215(xx－＋的定义域是。解析：由（15＋2x－x2）3≥0．∴15＋2x－x＜20．∴－3≤x≤5．答案：A9．函数y＝221mmx－－在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是________．解析：m的取值应该使函数为偶函数．故m＝－1．答案：m＝－1星辰教育培训中心-5-10、讨论函数y＝52x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．思路：函数y＝52x是幂函数．（1）要使y＝52x＝52x有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．（2）∵xR，∴x2≥0．∴y≥0．（3）f（－x）＝52)(x－＝52x＝f（x），∴函数y＝52x是偶函数；（4）∵n＝52＞0，∴幂函数y＝52x在［0，＋］上单调递增．由于幂函数y＝52x是偶函数，∴幂函数y＝52x在（－，0）上单调递减．（5）其图象如下图所示．11、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y＝53x的单调性，在第一象限内函数单调递增，∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y＝23x的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－，∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．星辰教育培训中心-6-12．已知函数y＝42215xx－－．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．解析：这是复合函数问题，利用换元法令t＝15－2x－x2，则y＝4t，（1）由15－2x－x2≥0得函数的定义域为［－5，3］，∴t＝16－（x－1）2［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x＝1，∴x［－5，1］时，t随x的增大而增大；x（1，3）时，t随x的增大而减小．又∵函数y＝4t在t［0，16］时，y随t的增大而增大，∴函数y＝42215xx－－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］．答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］；（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；（3）（1，3］．规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y＝x，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．