幂函数教案

1幂函数1.幂函数的概念一般地，函数__________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.2.幂函数的图象与性质由幂函数y＝x、y＝12x、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在__________上都有定义；(2)幂函数的图象都过点__________；(3)当α0时，幂函数的图象都过点________与________，且在(0，＋∞)上是单调________；(4)当α0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是单调________.3.五种幂函数的比较(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较函数性质y＝xy＝x2y＝x3y＝12xy＝x－1定义域值域奇偶性单调性[难点正本疑点清源]1.在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.1.当α∈－1，12，1，3时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限.2.已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α＝________.3.下列函数是幂函数的序号是________.①y＝2x；②y＝2x－1；③y＝(x＋2)2；④y＝3x2；⑤y＝1x.4.已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点2，22，则f(4)的值等于()A.16B.116C.2D.12特征2题型一幂函数的定义及应用例1已知y＝(m2＋2m－2)·211mx＋(2n－3)是幂函数，求m、n的值.探究提高(1)判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量；③幂系数为1.(2)若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征.已知f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.题型二幂函数的图象及性质的简单应用例2已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点2，14.(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)当x为何值时，①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x).探究提高求幂函数解析式的步骤：(1)设出幂函数的一般形式y＝xα(α为常数)；(2)根据已知条件求出α的值；(3)写出幂函数的解析式.已知幂函数y＝243mmx(m∈Z)的图象与y轴有公共点，且其图象关于y轴对称，求m的值，并作出其图象.题型三利用幂函数的性质比较幂值的大小例3比较下列各组数的大小：(1)13(0.95)和13(0.96)；(2)138和1319；(3)0.20.5和0.40.3.探究提高在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题关键.比较下列各组数的大小：(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)122，131.8；(4)254.1，233.8和35(1.9).题型四幂函数的综合应用3例4已知幂函数f(x)＝223mmx(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足3(1)ma3(32)ma的a的取值范围.探究提高本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质.解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围.已知幂函数f(x)＝21()mmx(m∈N*).(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围.5.利用转化思想求参数范围试题：(12分)若函数f(x)＝324(42)mxxm＋(x2－mx＋1)0的定义域为R，求实数m的取值范围.批阅笔记(1)有关幂函数y＝xα的定义域的确定，当α为分数时，可转化为根式考虑，当α＝0时，底是非零的，不可忽视.本题将原题转化为对一切x∈R有g(x)0且h(x)≠0恒成立是解题的关键.(2)不等式恒成立问题，可利用数形结合思想，如g(x)0和h(x)≠0在R上恒成立作进一步转化.(3)易错分析：第一，不能将问题转化为mx2＋4x＋m＋20恒成立问题，也就是缺乏转化的意识；第二，易忽略x2－mx＋1≠0的隐含条件，致使范围扩大.方法与技巧1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是幂函数.2.比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.3.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性α1时，曲线下凸；0α1时，曲线上凸；α0，曲线下凸.失误与防范1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.42.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象.3.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型的问题.进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法.A组专项基础训练题组一、选择题1.幂函数y＝f(x)的图象过点4，12，那么f(8)的值为()A.26B.64C.24D.1642.下图是函数y＝mnx(m，n∈N*，m、n互质)的图象，则()A.m，n是奇数，且mn1B.m是偶数，n是奇数，且mn1C.m是偶数，n是奇数，且mn1D.m是奇数，n是偶数，且mn13.(2011·陕西)函数y＝13x的图象是()二、填空题4.若幂函数y＝(m2－3m＋3)·22mmx的图象不经过原点，则实数m的值为________.55.已知a＝xα，b＝2ax，c＝1ax，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小顺序是________.6.若12(1)a12(32)a，则a的取值范围是__________.三、解答题7.设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数.当－1≤x1时，y＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点(12，18).求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式.8.已知f(x)＝2123nnx(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)f(x＋3).一、选择题1.设a＝253()5，b＝352()5，c＝352()5，则a，b，c的大小关系是()A.acbB.abcC.cabD.bca2.已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)27325ttx(t∈N)是偶函数，则实数t的值为()A.0B.－1或1C.1D.0或13.若函数f(x)＝1x，x0，13x，x≥0，则不等式－13≤f(x)≤13的解集为()A.[－1,2)∪[3，＋∞)B.(－∞，－3]∪[1，＋∞)C.32，＋∞D.(1，3]∪[3，＋∞)二、填空题64.函数y＝(m2－m－1)223mmx是幂函数且在x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为________.5.已知函数f(x)＝xα(0α1)，对于下列命题：①若x1，则f(x)1；②若0x1，则0f(x)1；③当x0时，若f(x1)f(x2)，则x1x2；④若0x1x2，则fx1x1fx2x2.其中正确的命题序号是________.6.已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则实数m的取值范围是________.7.已知函数f(x)，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.在函数：①f1(x)＝x，②f2(x)＝x，③f3(x)＝x2中，其中________是“保三角形函数”(填上正确的函数序号).三、解答题8.已知函数f(x)＝22kkx(k∈Z)满足f(2)f(3).(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由.