学研教育—2016年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧

学研教育—2016年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第1页共13页第一部分定积分的计算一、定积分的计算例1用定积分定义求极限.)0(21lim1annaaaan.解原式=1011limaaninxnnidx=aaxa111101.例2求极限1021limxxnndx.解法1由10x，知nnxxx210，于是10210xxn10nxdxdx.而10nxnnnxdxn0111101，由夹逼准则得1021limxxnndx=0.解法2利用广义积分中值定理xgxfbabaxgfdxdx（其中xg在区间ba,上不变号），.10111102102nnnndxxdxxx由于11102n，即211n有界，nndxxn01110，故1021limxxnndx=0.注（1）当被积函数为22,xaxR或22,axxR型可作相应变换.如对积分31022112xxdx，可设txtan；对积分02202adxxaxxa，由于2222axaxax，可设taaxsin.对积分dxex2ln021，可设.sintex（2）0,cossincossin20dcdttdtctbtaI的积分一般方法如下：学研教育—2016年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第2页共13页将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]，可求出22dcbdacA，22dcadbcB.则积分2020cossinln2cossincossintdtcBAdttdtctdtcBAI.ln2dcBA例3求定积分dxxxx1211arcsin分析以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式.解法1dxxxx1211arcsin2txxt12121211212arcsinarcsinarcsin21arcsin2ttdtdttt.1632解法2dxxxx1211arcsin.163cossincossin2sin2242242uduuuuuuux小结（定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元tx时还应注意：（1）tx应为区间,上的单值且有连续导数的函数；（2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4计算下列定积分（1）2031cossinsinxxxdxI，dxxxxI2032cossincos；（2）.1cos226dxexx解（1）2031cossinsinxxxdxI学研教育—2016年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第3页共13页)(sincoscos2023duuuuux=.sincoscos2023Idxxxx故dxxxxxII203321cossincossin21=41coscossinsin212022dxxxxx.（2）I.1cos226dxexxdxexdueuuxxu2262261cos1cos2222661cos1cos21dxexdxexeIxxx.3252214365coscos21206226xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dxxdxnn2020cossin偶数奇数nnnnnnnnnn,22421331,1322431小结（1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。积分区间为[0，a]时，设xau;积分区间为[-a,a]时，设xu。可使新的积分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。（2）利用例10.6(2)中同样的方法易得学研教育—2016年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第4页共13页2020cossincoscossinsindxxfxfxgdxxfxfxg例5设xf在,0上具有二阶连续导数，3f，且2cos0xdxxfxf，求.0f解xdxxfxfcos020sincossinsincossin000000ffdxxfxxfxdxxfxxxfxfxdxdxf故.53220ff小结（1）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择dvu,的原则；（2）当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解.例6计算定积分xdxn206sin（n为自然数）.解x6sin是以为周期的偶函数..8522143654sin4sin2sin220622606nxdxnxdxnxdxn原式例7证明积分0211xxdxI与无关，并求值.解0211xxdxI020211111xxdxxttdttxt，于是022111121xxdxxxxdxI.4arctan21121002xxdx┃小结收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法.学研教育—2016年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第5页共13页二、含定积分的不等式的证明例8证明（1）222121212dxeex；20sin2sintdtexxt.证（1）2xexf在21,21上连续，令022xexfx，得0x.比较212121eff与10f的大小，知在21,21上的最大值为10fM，最小值为2121efm，故.22121212122121212Mdxemex（2）由于tetsinsin以2为周期，tdtetdtexFtxxtsinsin20sin2sin.sinsin2sin0sintdtetdtett而uduetutdteutsin2sin0sin2sin令tdtetsin0sin，因为0sinsinsinteett，.,0t所以0sin0sinsintdteexFtt┃事实上，（2）中所给变上（下）限定积分与x无关，仅为取正值的常数.例9设xf是1,0上单调减少的正值连续函数，证明dxxfdxxf0.10证利用积分中值定理，dxxfdxxf021ff1,021学研教育—2016年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第6页共13页02221fff（因为xf递减取正值）.即dxxfdxxf0.10┃例10设xf在b,0上连续且单调递增，证明：当ba0时，有.2200dxxfadxxfbdxxxfabba（10．1）分析将定积分不等式（10．1）视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明。将要证的不等式两端做差，并将b换成u，作辅助函数uF，即需证.0bF证作dxxfadxxfudxxxfuFuaua0022bua，则dxxfuufuufuFu021210210udxxfuf（因为xf递增，0xfuf）于是，由拉格朗日中值公式，有.0abFabFaFbF.ba即式（10．1）成立.例11设xf在ba,上连续，且0af，证明.max,22xfMabMdxxfbxaba分析利用条件，生成改变量，借助于拉格朗日中值公式估计.xf证因为xf在ba,上连续，故有界，即存在0M，使Mxf，bax,,axMfaxafxfxf故dxxfdxxfbaba.22abMdxaxMba┃例12设xf在a,0上二阶可导，且0xf，证明.20aafdxxfa分析已知xf二阶可导，可考虑利用xf的一阶泰勒公式估计xf；又所证学研教育—2016年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第7页共13页的不等式中出现了点2a，故考虑使用20ax处的泰勒公式.证xf在2a处的一阶泰勒公式为222222axfaxafafxf！，其中，在x与2a之间.利用条件0xf，可得222axafafxf，两边从0到a取积分，得.222200aafdxaxafaafdxxfaa┃小结关于含定积分的不等式的证明，常用的有两种方法：（1）利用定积分的保序性；（2）利用积分上限函数的单调性.三、定积分的应用例13求由曲线0aaxy与直线axax2,及0y所围成的图形分别绕x轴、y轴及1y旋转一周所成的旋转体的体积.xy=a图11—8yxOFGBAC(2a,0.5)D(a,1)解（1）绕x轴旋转，积分变量为aaxx2,,.2122adxxaVaa学研教育—2016年浙江专升本高数定积分及重积分的方法与技巧第8页共13页（2）绕y轴旋转（3）绕y＝1旋转解法1取y为积分变量，1,0y，直线ax及ax2和双曲线axy的交点D及C的纵坐标分别为1y和21y.设平面图形CDFG，BCGO及ADFO（见图11—8）绕y轴旋转而成的立体的体积分别为21,VV和3V，则所求旋转体的体积为321VVVV.2222221212aaadyya解法2取y为积分变量，1,0y，将1,0分成两部分区间：21,0和1,21.在21,0上，体积元素为.322221dyadyaadV在1,21上，体积元素为.1122222dyyadyaadV故所求体积为dyyadyaV113212122102.22123222aaa解法3选x为积分变量，aax2,.将旋转体分割成以y轴为中心的圆柱形薄壳，以薄壳的体积作为体积元素，这一方法称为柱壳法.对应于区间xxx,的窄曲边梯形可近似地看做高为xay，宽为dx的举矩形，它绕y轴