平面的基本性质学案

个性化教案平面的基本性质适用学科数学适用年级高中二年级适用区域全国课时时长（分钟）60知识点1.平面的概念2.平面的画法及其表示方法3.空间图形是由点、线、面组成的4.平面的基本性质5.平面图形与空间图形的概念学习目标1.理解公理三的三个推论.2.进一步掌握“点线共面”的证明方法奎屯王新敞新疆3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．4．通过公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．学习重点用反证法和同一法证明命题的思路．学习难点对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式个性化教案教学过程一、复习预习1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性奎屯王新敞新疆2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面奎屯王新敞新疆通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍奎屯王新敞新疆画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画奎屯王新敞新疆②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC等奎屯王新敞新疆3．空间图形是由点、线、面组成的奎屯王新敞新疆点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法）AaAa点A在直线a上奎屯王新敞新疆AaAa点A不在直线a上奎屯王新敞新疆AA点A在平面内奎屯王新敞新疆AA点A不在平面内奎屯王新敞新疆baAabA直线a、b交于A点奎屯王新敞新疆aa直线a在平面内奎屯王新敞新疆aa直线a与平面无公共点奎屯王新敞新疆aAaA直线a与平面交于点A奎屯王新敞新疆l平面、相交于直线l奎屯王新敞新疆a（平面外的直线a）表示a或aA个性化教案4奎屯王新敞新疆平面的基本性质公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内奎屯王新敞新疆推理模式：AABB．如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线奎屯王新敞新疆推理模式：AlA且Al且l唯一奎屯王新敞新疆如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上奎屯王新敞新疆公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面奎屯王新敞新疆推理模式：,,ABC不共线存在唯一的平面，使得,,ABC奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆应用：①确定平面；②证明两个平面重合奎屯王新敞新疆“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．5奎屯王新敞新疆平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形奎屯王新敞新疆BA个性化教案二、知识讲解考点/易错点1推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.已知：直线l，点A是直线l外一点.求证：过点A和直线l有且只有一个平面奎屯王新敞新疆个性化教案证明：（存在性）：在直线l上任取两点B、C，∵Al，∴,,ABC不共线．由公理3，经过不共线的三点,,ABC可确定一个平面，∵点,BC在平面内，根据公理1，∴l，即平面是经过直线l和点A的平面.（唯一性）：∵,BCl，l，A，∴点,,ABC，由公理3，经过不共线的三点,,ABC的平面只有一个，所以，经过l和点A的平面只有一个奎屯王新敞新疆推理模式：Aa存在唯一的平面，使得A，l奎屯王新敞新疆个性化教案推论2经过两条相交直线有且只有一个平面奎屯王新敞新疆已知：直线Pba.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面奎屯王新敞新疆个性化教案证明：（存在性）：在直线a上任取两点A，直线b上B，∵Pba，∴,,ABP不共线．由公理3，经过不共线的三点,,ABP可确定一个平面，∵点,,ABP在平面内，根据公理1，∴,ab，即平面是经过直线a和直线b的平面.（唯一性）：∵Pba，,AaBb，,ab，∴点,,ABP，由公理3，经过不共线的三点,,ABP的平面只有一个，所以，经过直线a和直线b的平面只有一个奎屯王新敞新疆推理模式：Pba存在唯一的平面，使得,ab奎屯王新敞新疆个性化教案推论3经过两条平行直线有且只有一个平面奎屯王新敞新疆已知：直线//ab.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面奎屯王新敞新疆个性化教案证明：（存在性）：∵//ab∴由平行线的定义，直线a和直线b在同一个平面内，即平面是经过直线a和直线b的平面.（唯一性）：取,ACa，Bb，∵,,//abab∴点A,B,C不共线且,,ABC，由公理3，经过不共线的三点,,ABC的平面只有一个，所以，经过直线a和直线b的平面只有一个奎屯王新敞新疆推理模式：//ab存在唯一的平面，使得,ab奎屯王新敞新疆个性化教案三、例题精析【例题1】两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内奎屯王新敞新疆已知：直线,,ABBCCA两两相交，交点分别为,,ABC奎屯王新敞新疆求证：直线,,ABBCCA共面奎屯王新敞新疆CBA个性化教案证法一：∵直线ABACA，∴直线AB和AC可确定平面，∵BAB，CAC，∴B，C，∴BC，即,,ABBCCA即直线,,ABBCCA共面奎屯王新敞新疆证法二：因为A直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）因为A∈α，B∈BC，所以B∈α．故ABα，同理ACα，所以AB，AC，BC共面．证法三：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α．因为A∈α，B∈α，所以ABα．同理BCα，ACα，所以AB，BC，CA三直线共面．问题：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？个性化教案课程小结：公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述奎屯王新敞新疆个性化教案课后作业【基础】1．选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是（）（A）三角形（B）菱形（C）梯形（D）四边相等的四边形（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（）（A）一个（B）四个（C）六个（D）八个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要（4）若a，b，∩=c，a∩b=M，则（）（A）Mc（B）Mc（C）M（D）M个性化教案2．已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.c'badcCBA个性化教案【拔高】3.求证：一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点个性化教案个性化教案