年数学文科高考题分类专题八立体几何

专题八立体几何1.(2012·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋65B．30＋65C．56＋125D．60＋1252.(2012·高考陕西卷)将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()3.(2012·高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.4.(2012·高考山东卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为__________．5.(2012·高考安徽卷)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________．(写出所有正确结论的编号)①四面体ABCD每组对棱相互垂直②四面体ABCD每个面的面积相等③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长6.(2012·高考课标全国卷)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点．(Ⅰ)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．7.(2012·高考广东卷)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；(3)证明：EF⊥平面PAB.8.(2012·高考福建卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(Ⅰ)求三棱锥A－MCC1的体积；(Ⅱ)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.9.(2012·高考浙江卷)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(Ⅰ)证明：(ⅰ)EF∥A1D1；(ⅱ)BA1⊥平面B1C1EF；(Ⅱ)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．10.(2012·高考湖南卷)如右图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.(Ⅰ)证明：BD⊥PC；(Ⅱ)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．专题八立体几何1.B由三视图可得该三棱锥的直观图为(下图)，在直观图中，作SO⊥AC于O，则SO⊥面ABC，作OG⊥AB于G，连SG，则SG⊥AB，由三视图知，∠ACB＝90°，SO＝4，AO＝2，CO＝3，BC＝4.在Rt△AOG及Rt△ACB中，由Rt△AOG∽Rt△ACB，∴AOAB＝OGBC⇒OG＝2×441＝841.在Rt△SOG中，SG＝SO2＋OG2＝16＋6441＝72041＝12541.∴S表＝S△SAC＋S△SBC＋S△ABC＋S△SAB＝12×4×5＋12×4×42＋32＋12×4×5＋12×12541×41＝30＋65.2.B由图2可知AD1为实线，B1C在左视图中为虚线，所以左视图为B.3.30由三视图知原几何体是由两个长方体及1个三棱柱组合而成，∴V＝[3×4＋（1＋2）×12]×4＝30.4.16VD1－EDF＝VF－EDD1＝13S△D1DE·CD＝16.5.②④⑤如图所示，利用特值法易知②④⑤正确，③错误，①不一定．6.证明：(Ⅰ)由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.(Ⅱ)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1.由题意得V1＝13×1＋22×1×1＝12.又三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.7.解：(1)证明：因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.因为AB∩AD＝A，所以PH⊥平面ABCD.(2)连结BH，取BH中点G，连结EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，则EG＝12PH＝12，VE－BCF＝13S△BCF·EG＝13·12·FC·AD·EG＝212.(3)证明：取PA中点M，连结MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊12AB.因为DF綊12AB，所以ME綊DF，所以四边形MEDF是平行四边形，所以EF∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.8.解：(Ⅰ)由长方体ABCD－A1B1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD＝1，又S△MCC1＝12CC1×CD＝12×2×1＝1，∴VA－MCC1＝13AD·S△MCC1＝13.(Ⅱ)将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，当A1，M，C′共线时，A1M＋MC取得最小值．由AD＝CD＝1，AA1＝2，得M为DD1中点．连接C1M，在△C1MC中，MC1＝2，MC＝2，CC1＝2，∴CC21＝MC21＋MC2，得∠CMC1＝90°，即CM⊥MC1，又由长方体ABCD－A1B1C1D1知，B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM.又B1C1∩C1M＝C1，∴CM⊥平面B1C1M，得CM⊥B1M，同理可证，B1M⊥AM，又AM∩MC＝M，∴B1M⊥平面MAC.9.解：(Ⅰ)(ⅰ)因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，所以C1B1∥EF.所以A1D1∥EF.(ⅱ)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1，BB1∩B1A1＝B1，所以B1C1⊥平面ABB1A1.所以B1C1⊥BA1在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝22，即∠A1B1F＝∠AA1B.又B1F∩B1C1＝B1，故∠A1B1F＋∠BA1B1＝90°，故BA1⊥B1F.所以BA1⊥平面B1C1EF.(Ⅱ)设BA1与B1F交点为H.连结C1H.由(Ⅰ)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB＝2，AA1＝2，得BH＝46.在直角△BHC1中，BC1＝25，BH＝46，得sin∠BC1H＝BHBC1＝3015.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是3015.10.解：(Ⅰ)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.(Ⅱ)设AC和BD相交于点O，连结PO，由(Ⅰ)知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角．从而∠DPO＝30°.由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO.在Rt△POD中，由∠DPO＝30°得PD＝2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为12AD＋12BC＝12×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD的面积S＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD中，OD＝22AD＝22，所以PD＝2OD＝42，PA＝PD2－AD2＝4.故四棱锥P－ABCD的体积为V＝13×S×PA＝13×9×4＝12.