年步步高一轮复习数学导数的概念与运算

§3.1导数的概念及其运算2014高考会这样考1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导．复习备考要这样做1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程．1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__0__f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a0)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a0，且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．6．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[难点正本疑点清源]1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1．f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________．答案3解析∵f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝(－1)2＋2＝3.2.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝______.答案2解析如图可知，f(5)＝3，f′(5)＝－1，因此f(5)＋f′(5)＝2.3．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.答案－2解析由题意得f′(x)＝2x＋3f′(2)，∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.4．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于3x－y＝0，则点P的坐标为________．答案(1,0)解析由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝4x30－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)．5．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为____________．答案y＝2x＋1解析易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝x＋2－xx＋22＝2x＋22，∴切线斜率k＝y′|x＝－1＝21＝2.由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.题型一利用定义求函数的导数例1利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．思维启迪：正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键．解f′(x0)＝limx→x0fx－fx0x－x0＝limx→x0x3－x30x－x0＝limx→x0(x2＋xx0＋x20)＝3x20.曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为y－x30＝3x20·(x－x0)，即y＝3x20x－2x30，由y＝x3，y＝3x20x－2x30，得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.若x0≠0，则交点坐标为(x0，x30)，(－2x0，－8x30)；若x0＝0，则交点坐标为(0,0)．探究提高求函数f(x)的导数步骤：(1)求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)；(2)计算平均变化率ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1；(3)计算导数f′(x)＝limΔx→0ΔfΔx.利用导数的定义，求：(1)f(x)＝1x在x＝1处的导数；(2)f(x)＝1x＋2的导数．解(1)∵ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝11＋Δx－1Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx1＋1＋Δx＝－ΔxΔx1＋Δx＋1＋Δx＝－11＋Δx＋1＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－11＋Δx＋1＋Δx＝－12.(2)∵ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝1x＋2＋Δx－1x＋2Δx＝x＋2－x＋2＋ΔxΔxx＋2x＋2＋Δx＝－1x＋2x＋2＋Δx，∴f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－1x＋2x＋2＋Δx＝－1x＋22.题型二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．解(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·1x＝ex(lnx＋1x)．(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(3)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝4sin2x＋π3·cos2x＋π3＝2sin4x＋2π3.(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，因此y′＝12x＋5·(2x＋5)′＝22x＋5.探究提高(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．求下列各函数的导数：(1)y＝11－x＋11＋x；(2)y＝cos2xsinx＋cosx；(3)y＝(1＋sinx)2；(4)y＝lnx2＋1.解(1)∵y＝11－x＋11＋x＝21－x，∴y′＝21－x′＝－21－x′1－x2＝21－x2.(2)∵y＝cos2xsinx＋cosx＝cosx－sinx，∴y′＝－sinx－cosx.(3)设u＝1＋sinx，则y＝(1＋sinx)2，由y＝u2与u＝1＋sinx复合而成．因此y′＝f′(u)·u′＝2u·cosx＝2cosx(1＋sinx)．(4)y′＝(lnx2＋1)′＝1x2＋1·(x2＋1)′＝1x2＋1·12(x2＋1)－12·(x2＋1)′＝xx2＋1.题型三导数的几何意义例3已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．思维启迪：求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．解(1)∵P(2,4)在曲线y＝13x3＋43上，且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为x20＝1，x0＝±1.切点为(－1,1)或1，53，∴切线方程为y－1＝x＋1或y－53＝x－1，即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.探究提高利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．解∵y′＝2ax＋b，∴抛物线在点Q(2，－1)处的切线斜率为k＝y′|x＝2＝4a＋b.∴4a＋b＝1.①又∵点P(1,1)、Q(2，－1)在抛物线上，∴a＋b＋c＝1，②4a＋2b＋c＝－1.③联立①②③解方程组，得a＝3，b＝－11，c＝9.∴实数a、b、c的值分别为3、－11、9.一审条件挖隐含典例：(12分)设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值．审题路线图C1与C2有交点↓(可设C1与C2的交点为(x0，y0))过交点的两切线互相垂直↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)两切线的斜率互为负倒数↓导数的几何意义利用导数求两切线的斜率：k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a↓等价转换(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1①↓(交点(x0，y0)适合解析式)y0＝x20－2x0＋2y0＝－x20＋ax0＋b，即2x20－(a＋2)x0＋2－b＝0②↓注意隐含条件方程①②同解a＋b＝52↓消元ab＝a52－a＝－a－542＋2516当a＝54时，ab最大且最大值为2516.规范解答解(1)对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，[1分]对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，[2分]设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直．∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，即4x20－2(a＋2)x0＋2a－1＝0①又点(x0，y0)在C1与C2上，故有y0＝x20－2x0＋2y0＝－x20＋ax0＋b⇒2x20－(a＋2)x0＋2－b＝0②由①②消去x0，可得