平面到空间类比结论的探究

平面到空间类比结论的探究西乡二中王仕林类比思想是数学中的一种重要解题思想,而平面几何问题的某些结论,通过类比思想,可以进一步探究空间问题的一些结论.掌握了从平面到空间问题的类比规律,可以深入地掌握平面几何与空间立体几何之间的内在联系.下面通过例子来说明这个问题.一、从平面到空间的类比结论：结论1：ABC的面积公式1(2ABCSBChh是BC边上的高）推广：三棱锥SABC的体积公式1(3SABCABCVShh是三棱锥的高）观察并分析：（1）平面内的三角形类比到空间变为三棱锥。（2）平面内三角形的面积类比到空间为三棱锥的体积。（3）平面内三角形的底边（线段）类比到空间变为（图1）三棱锥的底面（平面）。结论2：如图2，D、E是ABC的边AB、AC上的点，且DE//BC，12,hh分别是ADE、ABC上的高。则（1）12DEhBCh（2）2122ADEABCShSh推广：如图3，D、E、F分别是三棱锥S-ABC的边SA、SB、SC上的三点，12,hh分别是三棱锥SDEF（图2）与SABC的高，且平面DEF//平面ABC。则（1）2122DEFABCShSh，（2）3132SDEFSABCVhVh。观察并分析：（1）平面内的两个三角形类比到空间为两个三棱锥。（2）平面内的线段之比类比到空间为面积之比。（3）平面内的面积之比类比到空间为体积之比。（4）平面内的线段之比为高之比；空间内面积之比为两高之比。（图3）（5）平面内的面积之比为平方之比，类比到空间变为：它的体积之比等于它的高的立方之比。结论3：如图4，OM、ON为两条射线，D、A、E、B分别为OM、ON上的任意两点，则ODEOABSODOESOAOB推论3：如图5，OP、OQ、OR分别为三条射线，1A、2A、1B、2B、（图4）1C、2C分别为OP、OQ、OR上任意两点，则111222111222OABCOABCVOAOBOCVOAOBOC观察并分析：（1）平面内两条射线类比到空间为三条射线。（2）平面内面积之比类比到空间为体积之比。（3）平面内是两项之积，类比到空间后为三项之积。结论4：在ABC中，两边AB、AC互相垂直，则222ABACBC，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则2222ABCACDADBBCDSSSS分析：（1）平面内有两条边，类比到空间变为三条棱。（2）平面内线段的长度类比到空间变为三角形的面积。（3）平面内两项之和，类比到空间变为三项之和。（4）平面内直角三角形的斜边，类比到空间变为三棱锥的底面。由此可知类比到空间后的结论为：2222ABCACDADBBCDSSSS二、从平面到空间的类比规律：从以上四个结论及推论发现：从平面内的某些结论，按照类比思想，拓展到空间后结论的形成，有如下规律：1、（1）平面内为线段长，类比到空间变为平面图形（如三角形）。（2）平面内为三角形，类比到空间变为三棱锥。2、（1）平面内为线段长，类比到空间变为平面图形的面积。（2）平面内为三角形的面积，类比到空间变为三棱锥的体积。3、（1）平面内为两条线段，类比到空间变为三条直线。（2）平面内为两项的和（积或商），类比到空间变为三项的和（积或商）。三、练习题：1、四边形ABCD是平行四边形，则平行四边形的两条对角线的和等于四条边的平方和。根据平面到空间的类比规律：平行六面体的四条对角线与平行六面体的12条棱之间的关系是：。2、P是边长为a的等边ABC内任意一点，则P到三角形各边的距离之和为一定值32a。将这个结论推广到空间后：棱长为a的正四面体内有任意一点，则该点到各面的距离之和为定值。该定值是：。（该作品于2007年12月28日被《考试报》教师版发表）