广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(数列)详解

广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(数列)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()A．138B．135C．95D．23解析：由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10可得d＝3，a1＝－4，所以S10＝－4×10＋10×92×3＝95.答案：C2．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列解析：设{an}的公差为d，则d＝1，设cn＝a2n－1＋2a2n，则cn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，cn＋1－cn＝a2n＋1＋2a2n＋2－a2n－1－2a2n＝6d＝6，选择C.答案：C3．在等差数列{an}中，已知a1＝13，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，那么a3等于()A．4B．5C．6D．7解析：a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝20，a3＝4.答案：A4．等差数列{an}的公差d≠0，a1≠d，若这个数列的前40项和是20m，则m等于()A．a1＋a20B．a5＋a17C．a27＋a35D．a15＋a26解析：S40＝40(a1＋a40)2＝20(a1＋a40)＝20m，m＝a1＋a40＝a15＋a26.答案：D5．在等比数列{an}中，若a5＋a6＝a(a≠0)，a15＋a16＝b，则a25＋a26的值是()A.baB.b2a2C.b2aD.ba2解析：记等比数列{an}的公比为q，依题意得a15＋a16＝a5q10＋a6q10＝(a5＋a6)q10，q10＝a15＋a16a5＋a6＝ba，a25＋a26＝a5q20＋a6q20＝(a5＋a6)q20＝a×(ba)2＝b2a，选C.答案：C6．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝158，a2a3＝－98，则1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝()A.53B.35C．－53D．－35解析：依题意，设公比为q，则q≠1，因此a1(1－q4)1－q＝158①a21q3＝－98②，又1a1，1a2，1a3，1a4构成以1a1为首项，以1q为公比的等比数列，所以1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝1a1[1－(1q)4]1－1q＝(1－q4)a1q3(1－q)，①÷②得(1－q4)a1q3(1－q)＝－53，即1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝－53，选择C.答案：C7．(2010·江西九校联考)设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，则S101＝()A．200B．2C．－2D．0解析：设等比数列{an}的公比为q，因为对任意正整数，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，an＋2anq＋anq2＝0，因为an≠0，所以1＋2q＋q2＝0，q＝－1，S101＝2×(1＋1)1＋1＝2，选择B.答案：B8．(2010·西安八校二联)已知等比数列{an}的公比q0，其前n项和为Sn，则a9S8与a8S9的大小关系是()A．a9S8a8S9B．a9S8a8S9C．a9S8＝a8S9D．a9S8与a8S9的大小关系与a1的值有关解析：依题意得，a9S8－a8S9＝a1q8·a1(1－q8)1－q－a1q7·a1(1－q9)1－q＝－a21q70，因此a9S8a8S9，选A.答案：A9．已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn＝lnan，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于()A．126B．130C．132D．134解析：∵{an}是各项不为0的正项等比数列，∴bn＝lnan是等差数列．又∵b3＝18，b6＝12，∴b1＝22，d＝－2，∴Sn＝22n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋23n，∴(Sn)max＝－112＋23×11＝132.答案：C10．(2009·安徽蚌埠测验)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6，…的第1000项等于()A．42B．45C．48D．51解析：将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第n段n个数，设a1000＝k，则a1000在第k个数段，由于第k个数段共有k个数，则由题意k应满足1＋2＋…＋(k－1)1000≤1＋2＋…＋k，解得k＝45.答案：B11．(2010·湖北八校联考)在数列{an}中，n∈N*，若an＋2－an＋1an＋1－an＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0②等差数列一定是等差比数列③等比数列一定是等差比数列④等差比数列中可以有无数项为0其中正确的判断是()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：依题意，∵an＋2－an＋1an＋1－an＝k(n∈N*)，∴k≠0，①正确，排除B，C选项，又由于公差是0的等差数列不是等差比数列，②错误，排除A，选择D.答案：D12．(2009·湖北高考)设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则{5＋12}，[5＋12]，5＋12()A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列解析：由题意，记a1＝{5＋12}＝5＋12－[5＋12]＝5＋12－1＝5－12，a2＝[5＋12]＝1，a3＝5＋12，若为等差数列，则2a2＝a1＋a3，不满足；若为等比数列，则(a2)2＝a1a3，有12＝5－12×5＋12，∴是等比数列但非等差数列，选B.答案：B二、填空题(每小题4分，共16分)13．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差d＝__________.解析：由a4＋a6＝6，得a5＝3，又S5＝5(a1＋a5)2＝10，∴a1＝1.∴4d＝a5－a1＝2，d＝12.答案：1214．(2009·重庆一诊)已知数列{an}是等比数列，且a4·a5·a6·a7·a8·a9·a10＝128，则a15·a2a10＝__________.解析：设等比数列{an}的公比为q，则依题意得a71·q42＝128，a1·q6＝2，a7＝2，a15·a2a10＝a2·q5＝a7＝2.答案：215．把100个面包分给5个人，使每人所得的面包数成等差数列，且使较多的三份之和的13等于较少的两份之和，则最少的一份面包个数是__________．解析：设构成等差数列的五个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则5a＝1003(a＋d)＝3(2a－3d)解得a＝20d＝5，则最少的一份为a－2d＝10.答案：1016．数列{an}中，a1＝3，an－anan＋1＝1(n＝1,2，…)，An表示数列{an}的前n项之积，则A2005＝__________.解析：可求出a1＝3，a2＝23，a3＝－12，a4＝3，a5＝23，a6＝－12，…，数列{an}每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2005＝668×3＋1且a1×a2×a3＝－1，则A2005＝(a1×a2×a3)…(a2002×a2003×a2004)×a2005＝(a1×a2×a3)668a1＝3.答案：3三、解答题(本大题共6个小题，共计74分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)17．(12分)Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，公比q≠1，已知1是12S2和13S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项．(1)求S2和S3的值；(2)求此数列的通项公式；(3)求此数列的各项和S.解：(1)由题意知12S2＋13S3＝22S2·3S3＝36，解得S2＝2，S3＝3.(2)a1＋a1q＝2a1＋a1q＋a1q2＝3，解得a1＝4q＝－12或a1＝1q＝1(舍去)．∴an＝4·(－12)n－1.(3)∵|q|＝|－12|＝121.∴S＝41－(－12)＝83.18．(12分)已知函数f(x)＝x3x＋1，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)．(1)求证：数列{1an}是等差数列；(2)记Sn(x)＝xa1＋x2a2＋…＋eq\f(xn,an)，求Sn(x)．(1)证明：∵an＋1＝f(an)，∴an＋1＝an3an＋1.∴1an＋1＝1an＋3，即1an＋1－1an＝3.∴{1an}是以1a1＝1为首项，3为公差的等差数列．∴1an＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)解：Sn(x)＝x＋4x2＋7x3＋…＋(3n－2)xn，①当x＝1时，Sn(x)＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(1＋3n－2)2＝n(3n－1)2.当x≠1时，xSn(x)＝x2＋4x3＋…＋(3n－5)xn＋(3n－2)xn＋1，②①－②，得(1－x)Sn(x)＝x＋3x2＋3x3＋…＋3xn－(3n－2)xn＋1＝3(x＋x2＋…＋xn)－2x－(3n－2)xn＋1＝3x(1－xn)1－x－2x－(3n－2)xn＋1，Sn(x)＝3x－3xn＋1(1－x)2－2x＋(3n－2)xn＋11－x.19．(12分)(2010·东城一模)已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2、a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝log2an＋1，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn42＋4n成立的n的最小值．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意有2(a3＋2)＝a2＋a4，①又a2＋a3＋a4＝28，将①代入得a3＝8.所以a2＋a4＝20.于是有a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8，解得a1＝2，q＝2，或a1＝32，q＝12.又{an}是递增的，故a1＝2，q＝2.所以an＝2n.(2)bn＝log22n＋1＝n＋1，Sn＝n2＋3n2.故由题意可得n2＋3n242＋4n，解得n12或n－7.又n∈N*，所以满足条件的n的最小值为13.20．(12分)商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还建行贷款(年利率5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元，其余部分全部在年底还建行贷款．(1)若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款？(2)若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元？(精确到元)(参考数据：lg1.7343＝0.2391，lg1.05＝0.0212,1.058＝1.4774)解：依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．(1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×800元＝800000元＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．依题意有62[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)n－1]≥500(1＋5%)n＋1.化简得62(1.05n－1)≥25×1.05n＋1，∴1.05n≥1.7343.两边取对数整理得n≥lg1.7343lg1.05＝0.23910.0212＝11.28，∴取n＝12(年)．∴到2014年底可全部还清贷款．(2)设每生每年的最低收费标准为x元，∵到2010年底公寓共使用了8年，依题意有(1000x10000－18)[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)7]≥500(1＋5%)9.化简得(0.1x－18)1.058－11.05－1≥500×1.059.∴x≥10(18＋25×1.0591.058－1)＝10(18＋25×1.05×1.47741.4774－1)＝10×(18＋81.2)＝992(元)故每生每年的最低收费标准为992元．21．(12分)若公比为c的等比数列{an}的首项a1＝1，且an＝an－1＋an－22(n＝3,