定积分的定义与性质-李飞.

第五章定积分及其应用第一节定积分的概念与性质主讲教师李飞5.1定积分的概念与性质5.2定积分的积分方法5.4复习题5.3定积分的应用第五章定积分及其应用规则图形的面积矩形的面积=长宽.长宽高h上底a直角梯形的面积=.2hba中位线,长为2ba直角梯形的面积可用矩形面积计算.下底b一、定积分的概念那么,不规则图形的面积如何求呢?一、定积分的概念用若干条平行于轴及轴的直线将图形分割,所求面积应为被分割的所有小面积之和.yx如左图,将其放入平面直角坐标系中.yoxA我们分析:由三条直线和一条曲线围成,其中两条直线互相平行,第三条直线与这两条直线垂直,另一边为曲线,称这样的图形为曲边梯形.AA对四周的不规则图形,面积怎么求?只要将其求出,则大的不规则图形面积也即求出.??????????求不规则图形的面积问题其中,中间部分为矩形,易求面积.转化为求曲边梯形的面积问题一、定积分的概念如何求曲边梯形的面积?将曲边梯形放在平面直角坐标系中,则由连续曲线)(xfy),0)((xfbx)(ba称为曲边梯形.直线,ax0y和(即轴)所围成的平面图形xbBAayxoax=bx0y)(xfyABab?A面积一、定积分的概念一、定积分的概念引例:求曲线yx2、直线x1和x轴所围成的曲边三角形的面积xyOyx21S观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．SxyOyx212n1n1nn......1inin21()in(4)取极限取Sn的极限，得曲边三角形面积：SnlimSn)211)(11(31limnnn31。SnlimSn)211)(11(31limnnn31。13(1)分割(1,2,...,1)ixinnn直线把曲边三角形分成个小曲边梯形。[0,1]n将区间分成个相等的小区间。121......innSsssss(2)近似i第个小曲边梯形面积:211s()(1,2,...,)iiinnn22211112110()()...()nnSnnnnnnn6)12()1(13nnnn)211)(11(31nn。小矩形面积的总和：(3)求和nSS分割求和近似取极限把整体的问题分成局部的问题在局部上“以直代曲”,求出局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体量的精确值；一、定积分的概念二、定积分的问题举例yxo直曲对立统一)(xfyABab在区间上任意选取分点],[ba,1210bxxxxxann1x2x3xix1ix1nx],,[10xx],,[21xx…,].,[1nnxx每个小区间的长度为,1iiixxx.,,2,1ni.max1inixx其中最长的记作x0x=nx=分成个小区间n(1)分割——分曲边梯形为个小曲边梯形n以直代曲1.求曲边梯形的面积二、定积分的问题举例yxo)(xfyABab1x2x3xix1ix1nx0x=nx=过每个分点()作轴的垂线,把曲边梯形分成个窄曲边梯形.ixni,,2,1xn用表示所求曲边梯形的面积.A表示第个小曲边梯形面积,则有:iAi.ΔΔΔΔ121niinAAAAA1A2A3AiAnA二、定积分的问题举例yxo)(xfyABab1x2x3xix1ix1nx0x=nx=(2)近似代替——用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积),2,1(ni，iAΔ)(ifixΔ在每一个小区间上任选一点(),用与小曲边梯形同底,以为高的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,即],[1iixxni，,2,1i)(if)(ifixΔ11A11)(xf2i2A22)(xfiAiixf)(nnAnnxf)(二、定积分的问题举例yxo)(xfyABab1x2x3xix1ix1nx0x=nx=11A11)(xf2i2A22)(xfiAiixf)(nnAnnxf)((3)求和——求个小矩形面积之和n个小矩形构成的阶梯形的面积是,这是原曲边梯形面积的一个近似值.即nniiixf1)(niiAA1.)(1niiixf二、定积分的问题举例(4)取极限——由近似值过渡到精确值分割区间的点数越多,即越大,且每个小区间的长度越短,即分割越细,阶梯形的面积,即和数与曲边梯形面积的误差越小.nniiixf1)(A],[baix现将区间无限地细分下去,并使每个小区间的长度都趋于零,这时,和数的极限就是原曲边梯形面积的精确值.],[baix01lim().niiiAfx其中12=max,,nxxx二、定积分的问题举例求得曲边梯形的面积:yxoab经(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.A)(xfy.)(lim10niiixxfA二、定积分的问题举例2.变速直线运动的路程已知物体直线运动的速度vv(t)是时间t的连续函数,且v(t)0,计算物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程S.(1)分割:T1t0t1t2tn1tnT2,tititi1;(2)近似代替:物体在时间段[ti1,ti]内所经过的路程近似为Siv(i)ti(ti1iti);物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程近似为(3)求和:(4)取极限:记max{t1,t2,,tn},物体所经过的路程为niiitvS1)(;niiitvS10)(lim.以不变代变三、定积分的定义定义5.1.)(lim10niiixxf用分点,1210bxxxxxann设函数在闭区间上有定义,)(xf],[ba把区间分成个小区间],[ban其长度,1iiixxx.,,2,1ni并记.max1inixx],[1iixx.,,2,1ni在每一个小区间()上任选一点,作乘积的和式],[1iixxni,,2,1i.)(1niiixf当时,若上述和式的极限存在,且这极限与区间的分法无关,与点的取法无关,则称函数在上是可积的,并称此极限值为函数在上的定积分,记作0xi],[ba)(xf],[ba)(xf],[ba,d)(baxxf即baxxfd)(三、定积分的定义xxfbad)(积分上限积分下限被积表达式被积函数积分变量.)(lim10niiixxf积分号],[ba称为积分区间.三、定积分的定义•定积分各部分的名称————积分符号,f(x)———被积函数,f(x)dx——被积表达式,x————积分变量,a————积分下限,b————积分上限,[a,b]———积分区间，niiibaxfdxxf10)(lim)(.niiixf1)(———积分和.三、定积分的定义根据定积分的定义,曲边梯形的面积为badxxfA)(.变速直线运动的路程为dttvSTT)(21.bababaduufdttfdxxf)()()(.说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即三、定积分的定义注意:定积分与不定积分的区别定积分和不定积分是两个完全不同的概念.不定积分是微分的逆运算而定积分是一种特殊的和的极限函数f(x)的不定积分是(无穷多个)函数,而f(x)在[a,b]上的定积分是一个完全由被积函数f(x)的形式和积分区间[a,b]所确定的值.三、定积分的定义函数的可积性如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在,则称f(x)在区间[a,b]上可积.•定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.•定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.niiibaxfdxxf10)(lim)(.三、定积分的定义积分上限1.定积分是一个数值,该数值取决于被积函数和积分区间,与积分变量无关,即xxfbad)()(xf],[ba.d)(d)(ttfxxfbaba积分下限2.交换定积分的上下限,定积分变号,即.d)(d)(xxfxxfabba＝－特别地,有.0d)(aaxxf三、定积分的定义3.可以证明：如果在区间上可积，则在区间上有界，即函数有界是其可积的必要条件．)(xfba,ba,)(xf)(xf这一结论也可以叙述为：如果函数在区间上无界，则在上不可积．)(xf)(xfba,ba,4.可积的充分条件:，且只有有限个第一类函数在上连续()fx[,]ab()fx在上可积。[,]ab函数在上有界()fx[,]ab在上可积。()fx[,]ab间断点三、定积分的定义(1)当ab时,0)(badxxf;两点规定(2)当ab时,abbadxxfdxxf)()(.三、定积分的定义例1用定积分表示极限.11lim1ninnin解ninnin111limnninin11lim1iixxxd110x01ni1ni注:设f(x)在[0,1]上连续,则有101)()(1limdxxfnifnninixi四、定积分的几何意义?Axoy1y1.dd)(abxxxfAbaba,1)(xf特别地,在区间上,若],[ba则由定积分的定义知yxo?A面积A.d)(xxfba).,0)((baxfb)(xfyABaab四、定积分的几何意义.d)(baxxfA?Axoy)(xfyab,0)(xf在区间上,若],[ba四、定积分的几何意义baxxfAd)(则图中阴影部分的面积为caxxfd)(abox)(xfyycd若)(xf有正有负,在区间上,],[badcxxfd)(.d)(bdxxf四、定积分的几何意义这是因为baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010.baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010.baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010.baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010.曲边梯形面积曲边梯形面积