实变函数练习题B

O.R-1-实变函数与泛函分析试卷B一、判断题1.]1,0[区间上的无理数所成之集是可数集2.存在一个集合A使得AA2。3.度量空间中疏朗集的子集是疏朗集。4.完备度量空间中的任何基本点列都收敛。5.系数为有理数的多项式全体组成一个可数集。二、填空题1.直线上任何非空开集可表示成至多可数的个互不相交的____的并集。2.实数集中一集合的____是包含此集合的所有闭集的交集。3.无限维赋范空间的有限维子空间必是完备的，因此是____的。4.Banach逆算子定理指的是Banach空间间的____双射的逆也连续。5.____的赋范空间称为Banach空间。三、选择题1.直线上的孤立点集____。A.可数B.至多可数C.不可数D.有限2.nR中任何非空开集可表示为闭集之____。A.至多可列并B.有限并C.交D.有限交3.赋范空间上非零连续线性泛函的零空间必是____。A.闭集B.开集C.非开非闭D.即开且闭4.依测度收敛的函数列____收敛。A.几乎处处B.几乎一致C.平均D.含子列几乎处处5.闭区间上____函数是Lebesgue可积的。A.有界可测函数B.处处有限可测C.几乎处处连续D.非负可测函数四、论述题1.证明直线上的孤立点集至多可数。2.试用Borel有限覆盖定理证明sWeierstrasBorzano定理。3.证明：)1(2nLNn。4.证明：设nf是Banach空间X的共轭空间nX中的点列，则1|)(|,nnxfXx收敛当且仅当1|)(|,nnfFXF收敛。5.证明：任何一元单调函数都是L可测函数。O.R-2-6.证明：设X是赋范线性空间，又设但2121*21,1||||||||,,ffffXff时，恒有2||||21ff.若0f是定义在X的子空间0X上的有界线性泛函，证明0f的保范延拓是唯一的。7.证明：如果)(xf在Cantor完全集0P上为0，而在0P的具有长度为n3的余区间上等于n，则)(xf在]1,0[的区间上可积，且3)(]1,0[dxxf。