实验3收敛与混沌迭代

实验3收敛与混沌——迭代一、实验目的及意义[1]了解迭代过程的图形表示，分形与混沌学科等，学会参数的灵敏度分析；[2]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；通过该实验的学习，观察非线性方程迭代过程中产生的奇特现象——分歧与混沌，学习参数的灵敏度分析，初步了解数学建模过程。这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。二、实验内容1．函数迭代序列计算练习；2．迭代序列动态行为的图形描述，探索其规律；3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；2．根据各种数值解法步骤编写M文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）基础实验1．迭代与分歧对于非线性函数f(x)=ax(1x)的迭代：（1）对于参数a分别取值于[1,4];[3,4];[3.8284,4]，作出费根鲍图。（2）观察其2-周期的分裂现象，尽可能多地给出分裂出现的的参数取值。（3）观察其倍3-周期现象，并总结类似倍2-周期的规律。（4）观察其倍5-周期现象。注意：选取同一个迭代初值，去掉前面若干项；将参数a的取值间距尽量地减小，以便于发现和总结规律。应用实验2．生物种群的数量问题种群的数量（为方便起见以下指雌性）因繁殖而增加，因自然死亡和人工捕获而减少。记()kxt为第t年初k岁（指满k-1岁，未满k岁，下同）的种群数量，bk为k岁种群的繁殖率（1年内每个个体繁殖的数量），dk为k岁种群的死亡率（1年内死亡数量占总量的比例），khhk为k岁种群的捕获量（1年内的捕获量）。今设某种群最高年龄为5岁（不妨认为在年初将5岁个体全部捕获），b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=0.3，d3=d4=0.2，h1=400，h2=200，h3=150，h4=100。A.建立xk(t+1)与xk(t)的关系（k=1,2,5,t=0,1,），如。为简单起见，繁殖量都按年初的种群数量xk(t)计算，不考虑死亡率。B.用向量表示t年初的种群数量，用bk和dk定义适当的矩阵L，用hk定义适当的向量h，将上述关系表成的形式。C.设t=0种群各年龄的数量均为1000，求t=1种群各年龄的数量。又问设定的捕获量能持续几年。D.种群各年龄的数量等于多少，种群数量x(t)才能不随时间t改变。E记D的结果为向量x*,给x*以小的扰动作为x(0)，观察随着t的增加x(t)是否趋于x*,分析这个现象的原因。3．遗传模型孟德尔(Mendel)第一定律：配子的基因是从其父倍的两个基因型中随机地选择的。实际应用中，将比例作为概率：Pk(A)=Prob{AA或Aa};Pk(a)=Prob{aa}，并记Xk=Pk(a)。得到如下遗传模型：1)致死基因遗传模型：Xk+1=kkXX1。讨论Xk的变化趋势。2)自然选择基因遗传模型：Xk+1=22)1(1)1(kkkXXX。其中：=r1/r2。r1和r2分别表示在总人口数量中，新生儿基因为(AA或Aa)和(aa)所占的比例。对不同的取值，讨论Xk的变化趋势，选取初值：X0=0.9。3)突变基因遗传模型：Xk+1=(1)Xk+。其中：为A突变为a的概率(比例一般为：105106)。对不同的讨论Xk的变化情况?考虑初值X0=0.1。探究实验4．迭代与分形（1）对于非线性函数f(z)=z21，在复数平面上迭代过程：作出其迭代有界的初值点集，就是所谓的Julia集。注意：迭代产生的（复数）数列可能有界，也可能无界，这完全依赖于迭代初值的选取。初值可以在整个复平面上任意选取。我们可以根据初值产生的迭代数列有界与否，将复平面上的点划分为两类：其中之一称为“迭代有界初值点集”，用实心黑点代表这些点，观察其几何形状，特别是其边缘的几何性质。（2）对于非线性函数f(z)=z2+c，参数c在复平面取值。对于每一个复数平面上的参数值，迭代产生的Julia集（迭代有界的初值点集）可能连通，也可能不连通。其中21111(1)()()xtxtdxth15()((),())Txtxtxt(1)()xtLxthJulia集连通的参数取值的集合，就是所谓的Mandelbrot集。具体地：对参数c的一个取值，例如c=1，可以得到一个Julia集，这个点集可能连通，也可能不连通。由于参数c的取值范围是整个复数平面，因此，参数c取值的复平面就可以根据迭代有界初值点集连通与否划分为两类。其中之一称为“Julia集连通的参数点集”，用实心黑点表示这些点，观察其几何形状，特别是其边缘的几何性质。提示：快速确定Mandelbrot集的方法：对于一个c，如果迭代对初值z=0，产生的迭代数列是有界的，那么这个c就是属于Mandelbrot集的。5．迭代与混沌使用牛顿方法求解非线性方程，自然希望找到好的初始点，能够快速地收敛到某个特定的根。根是一个吸引子，相应有一个该吸引子的控制域（收敛到该吸引子的初值范围）。利用计算机可以很方便地作出所有的吸引子与其控制域的图形，加上那些不是任何一个控制域的点，就构成了整个初值空间。这样的图形，不妨称为初值空间谱图。（1）对于用牛顿方法，只求实数根，作出初值空间谱图，当然应该是一维的。（2）对于用牛顿方法求所有根，也就是包括复数根，初值可以是任何一个复数，其初值空间谱图是二维的。试作出其初值空间谱图。（3）对问题2，作出彩色的初值空间谱图。注：用彩色替代黑色的点的方法是：不同的（吸引子的）控制域用不同颜色，并用颜色的暗淡（不同强度）表示收敛速度（指牛顿算法以此点为初值的迭代过程的收敛快慢程度）。可以先想一想，这个图色彩形状如何？五彩缤纷、千奇百怪、还是平淡无奇，很难想到，除非你自己亲自动手！注意：可以采用如下两个方程进行实践：(a)z41=0；(b)z31=0。