复旦大学材料物理第9课

第9课关于一维周期势场中电子运动的理论处理思路固体是由大量的原子组成，每个原子又有原子核和电子，原则上说．如果能写出这个多体问题的薛定鄂方程，而且求出该方程的解，便可以了解固体的许多物理性质。前面的讨论是单个电子在周期性场中运动的基本特性。把多体问题简化为单电子问题，中间需要经过多次简化：1.绝热近似。考虑到原子核的质量比电子大，离子运动速度慢，在讨论电子问题时，可以认为离子是固定在瞬时的位置上。这样，多种粒子的多体问题就简化成多电子问题。2.单电子近似（哈特里—福克近似）。利用哈特里—福克自治场方法，电子问题简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其他电子的平均场中运动。3.周期场近似。认为所有离子势场和其他电子的平均场是周期性势场。对于三维的周期场中的单电子问题也只能用各种近似方法求解。通常选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，把晶体电子态的波函数用此函数集合展开，然后代入薛定鄂方程，确定展开式的系数所必须满足的久期方程，据此可求得能量本征值，再依照逐个本征值确定波函数展开式的系数。不同的方法仅在于选择不同的函数集合。这是理论计算的框架，实际晶体的能带计算必须借助快速大容量的电子计算机。所以，晶体能带结构的计算是十分繁重的工作。因而一些半经验的方法起相当重要的作用，它借助实验数据来确定计算较困难的量。三维情况的布洛赫定理112233nnnnRaaa若函数f(r)具有晶格的周期性，则()()nffrrR引入平移矢量T(Rn)，对于单电子的周期势能V(r)有()()()()nnTVVVRrrRr在周期势场中运动的单电子薛定鄂方程为22()[()]()()2HVEmrrrr如果属于能量E有d个独立解123(),(),(),...,()drrrr满足正交归一化条件ijijd由于()();()()iiiiETHrTrTHrHTr可以有()()ininEHrRrR即()inrR也是薛定鄂方程的一个解。显然此解不可能是独立的，应是d个解的线性组合，即1()()dinijjjCrRr()inrR依然有满足正交归一化条件，即**()()()()injnijiljmlmijlmdCCdrRrRrr又因*()()lmlmdrr，故iljlijlCC平移算苻满足交换率，可以对易，即()()()()nmmnTRTRTRTR因此所有平移算苻有有共同的本征函数，所有的平移算符又都同H对易，因而所有平移算将和H有共同的本征函数。设此本征函数为()()iiiPrr且()()()()nntTRrRr()ntR是平移算苻的本征值。由于()()()nmnmTRRTRTR可有()()()nmnmtttRRRR对此式取对数，有log()log()log()nmnmtttRRRR依次关系，可把本征值写为()exp()nntiRkR由此()()()exp()()nnnikTRrrRRr如果令()exp()()kiurkrr则()kur一定满足关系()()knkuurRr如果把k看成一个连续变量，则可去掉下标，因此有()exp()()()()kknkiuuurkrrrRr即：描述晶体电子状态的布洛赫波是调幅的平面波，调幅函数()kur具有与晶体相同的周期性。这就是三维空间中的布洛赫定律。如果晶体有123NNNN个原胞，每个原胞体积123()aaa，晶体体积是N，波函数1()exp()()kiuNrkrr，归一化条件2**1()()()()()1kkkkkNNduududNrrrrr所以布洛赫波的周期因子()kur的模的平均值约为1ku引入倒格子，并定义倒格矢，231312123222aabaabaab【注意：此定义与前面略有不同，差了一个2因子】可以证明：2ijijab在倒易空间中，波矢可表为112233kbbb利用边界条件()(),(1,2,3)kjjkNjrar有exp()1jjiNka由此得到jjjNl（整数）即jjjlNjl是任意整数。当j换成'jjn时，相当于波矢k换成'hkkK，hK是倒格矢．波矢为k’的波函数为()exp[()]()exp()[()exp()]hhhhhiuiuikKkKkKrkKrrkrrKr方括号中的函数仍然是晶格的周期函数，可记为()kur。因此'hkkK的态和k态是两个等价的状态，代表相同的电荷分布。因而人们往往把jl限制在2jN到2jN的范围内。若Nj是奇数，jl取上述范围的正、负整数以及零；若Nj偶数这区间的两端点取其一．综合这两种情形，可确定如下范围22jjjNNl相应的波矢k的范围是22jjjbb此范围在倒格子空间是倒格基矢的垂直平分面围成的多面体，称为简约布里渊区，它的体积是3123(2)()bbb等于倒格子原胞的体积，其中波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点占体积3123123111(2)()bbbNNNN在简约布里渊区内含有的波矢数目为33(2)(2)NN此数目正好等于晶体中的原胞数目。如前章所述，在考虑实际晶体电子占有能带时这个关系很重要。二维、三维布里渊区1.二维正方格子正格子原胞基矢12,aaaiaj倒格子原胞基矢1222,aabibj倒格子空间离原点最近的4个倒格矢为1122,,,bbbb，它们的垂直平分线的方程式为xka以及yka这些垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区，即第一个布里渊区。这个区也是—个正方形，其中心常用符号标记，区边界线的中心记为X，角顶点用M表示，沿到X的连线记为，沿到M点连线记为。离点次近的四个倒格点相应的倒格矢是：12121212,(),,()bbbbbbbb它们的垂直平分线，同第I布里渊区边界线围成的区域合起来成为第II布里渊区，这个区的各部分分别平移一个倒格矢，可以同第一个区重合。离点更远一些倒格点是四个倒格矢11222,2,2,2bbbb它的垂直平分线向第I区的边界线和第II区的边界线围成第III区．这个区的各部分分别平移适当的倒格矢也能同第I区重合，更高的布里渊区可用类似方法求得。2.体心立方格子体心立方正格子的三个基矢为：123()2()2()2aaaaijkaijkaijk可以求出此时的倒易基矢【注意：这是一个面心格子！】：1232()2()2()aaabjkbikbik倒格矢1122332313212[()()()]nnnnnnnnnnaKbbbijk面心格子中到原点最近的格点有12个，它们在直角坐标系的坐标为：2313212(,,)nnnnnna可以具体算出，为：2222(1,1,0);(1,1,0);(1,1,0);(1,1,0);aaaa2222(1,0,1);(1,0,1);(1,0,1);(1,0,1);aaaa2222(0,1,1);(0,1,1);(0,1,1);(0,1,1);aaaa相应的倒格矢的长度{1,1,0}22Ka这十二个例格矢的中垂面围成菱形十二面休，如图6—2所示，其体积正好是例格子原胞的大小。通常布里渊区中某些对称点和若干对称轴上的点的能量较易计算，这些点的常用符号列在下面：波矢k：222111211(0,0,0);(1,0,0);(,,);(,,0);22222HPNaaaa波矢k：222(,0,0);(,,0);(,,);11010022aaa大写英文表示倒易格点；大写希腊字表示区域。3.面心立方格子面心立方格子的基矢是123()2()2()2aaaajkaikaij此格子的倒易基矢是【注意：这是体心格子！】：1232()2()2()aaabijkbijkbijk倒格矢1122331231231232[()()()]nnnnnnnnnnnnnaKbbbijk体心格子到原点最近的格点有8个，它们在直角坐标系的坐标为：1231231232(,,)nnnnnnnnna可以具体算出，为：2222(1,1,1);(1,1,1);(1,1,1);(1,1,1);2222(1,1,1);(1,1,1);(1,1,1);(1,1,1);aaaaaaaa它们的中垂面围成一个正八面体，每个面离原点的距离是3a。再考虑次近邻的六个倒格点：222(2,0,0);(0,2,0);(0,0,2);aaa的相应倒格矢的垂直平分面，它们截去正八面体的六个顶锥、形成截角八面体（十四面体）。可以算出由此得到的十四面体的体积正好等于该倒格子原胞的体积，如图6-3所示。布里渊区中一些对称点的常用符号：222332111(0,0,0);(1,0,0);(,,0);(,,);44222XKLaaaa若干对称轴上的点的常用符号：222(,0,0);(,,0);(,,);31010042aaa三维空间的能带计算晶体电子的能带计算方法很多，从概念上讲最简单的要算平面波方法，此方法又能给出有明显物理意义的结果。平面波方法势能V(r)是具有晶格周期性的函数，可以展开成傅里叶级数0()()expmmmVVirKKr由条件()()nVVrrR【Rn：正格矢】可得到exp1mniKR由此可见Km一定是倒格矢，即112233mmmmKbbb（mi：整数；bi：倒格基矢）同样，布洛赫函数中的周期性因子()kur也可展成傅立叶级数1(,)()iiiiikeaeNKrkrrK代入薛定鄂方程，整理后得到2()21[()()()exp]()02iiimmiimEViaemNkKrkKkKKrK将此式乘以()1nieNkKr，再对晶体体积积分，考虑到关系式(),1mnmniNedNKKrKK可以得到a(Km)满足的方程22[()()]()()()02nnmnmmnEaVamkKkKKKK【1】如果Kn取不同的倒格矢，可得到无限多个类似上式的方程组。()maK有解的条件是它们的系数组成的行列式必须等于零，即22,det[()()]()02mnnmnEVmKKkKkKK此行列式的元素为22,()(),2()mnnmnmnmnEAmVKKkKkKKKKKK当＝，当nK是行的指标，mK是列的指标。原则上讲，上式是无限阶的行列式。但实际计算只需取有限阶的行列式，例如取200个平面被，得到的是200阶的行列式。这必须依靠大型的快速电丫计算机来解。原则上能解出200个本征值E1(k),E2(k),…,E200(k)。让波矢k沿布里渊区的某个对称轴变化，重复上述计算，便可原则上得到沿此对称轴Ea(k)的函数曲线，其中a是能带序号。例如二维正方晶格的例格子原胞(即布里渊区)是边长为2a的正方形。布里渊区巾心用符号表元正方形边的中点用X表示，点和X点的连线用表示。图8.2.4画出波矢k沿轴变化时，能量E的函数曲线。如果电子的行为接近于自由电子，零级的波函效01()ieNKrk,r能量220()2kEmk此时只有(0)~1,a其他()naK是小量，()nmVKK也是小量。由【1】式，得【在取和号中，除了Km＝0，其它都是小量，二阶项可以忽略！】222()()[()]2nnnVakmKKkK当22()nkkK时，()naK变得很大，此时接近于布拉格反射条件。在布拉格条件下，【1】中