外势能的相对性

4.外势能的相对性-------------机械能守恒定律与力学相对性原理关系研究综述李学生（山东大学物理学院，山东济南250100）摘要：文章分析了在研究机械能守恒定律与力学相对性原理之间的关系时需要准确理解的七个问题，造成了长期的争论，建议力学教材明确指明，尤其是势能定义比势能公式更基本，经典的势能公式仅仅适用于静止系，外势能不具有伽利略变换的不变性，最后给出一个简要的一般性证明，机械能守恒定律满足力学相对性原理，也具有单独的协变性，牛顿定律满足伽利略变换是机械能守恒定律满足伽利略变换的充分条件．关键词：机械能守恒定律；力学相对性原理；势能公式；势能定义机械能守恒定律与力学相对性原理之间的关系是一个古老而又宽泛的问题，至于从何时开始讨论，现在不好查证，文献[1]-[2]是我们所能查到的最早的文献.下面就我们在研究过程中出现的问题以及对于教学的启示简要总结如下，期望得到力学界各位专家的指导.1、力的作用点问题力的大小、方向和作用点是力的三要素，必须本质地看待力的作用点，根据牛顿第二定律力必须作用在有质量的点上，因此在弹簧振子和单摆问题中必须注意这个问题.在弹簧振子问题中，一般不考虑弹簧质量，如果考虑弹簧质量，在各个惯性系机械能都不守恒，因此力的作用点是振子（或者说小球），而不是弹簧.30多年来不少人错误地认为力的作用点在弹簧，才导致了这个习题争论30多年[3][4][5]，弹簧振子问题类似于重力场，我们一般不把地球对于重力场的作用力和重力场对于物体的作用力看做两个力重复计算，这个问题类似于单摆问题中我们不把悬挂点对于摆线的作用力和摆线对于摆锤的作用力看做两个力，因为摆线也不考虑质量.关于功的定义曾经有两种说法---------质点的位移与力的标量积、力的作用点与力的标量积，如果考虑到力的作用点必须具有质量，二者是一致的，文献[3]也认可“质点的位移与力的标量积”.2、势能的零点问题根据力学相对性原理，在计算势能时势能的零点应该相对于观察者不变，而不是相对于力源不变，在万有引力问题中虽然我们一般选择无穷远点为势能的零点，但是在各个惯性系起始时刻势能的确定相当于选择了零点，在各自的坐标系里势能的计算都应该以它为标准.实际上在一个坐标系里只要任何一点的势能确定，其他任何一点的势能便随之确定.一般情况下在一个惯性系里选择了势能零点，在另一个惯性系里最好用它的伽利略像点.3、保守力的认识大学力学里的保守力一般只提重力、弹簧弹力和万有引力，其实除了这三种保守力外有些弹力也是保守力，例如斜面的支持力、摆线的拉力、匀速圆周运动的约束力、静摩擦力等也是.保守力是有势力的一种——不显含时间，在伽利略变换中力是伽利略变换的不变量，包括力场的性质不变，在一个惯性系中某个力不显含时间，在另外的惯性系中也一定不显含时间.例如在自由落体问题电梯系中我们不能计算势能时是显含时间的力，利用动能定理（动能定理满足伽利略变换这个问题没有争议）求动能时不是显含时间的力，前后不自洽.场的坐标与质点的坐标不一样，不能混为一谈，重力、弹簧弹力和万有引力都是稳定场，不是显含时间的力场.在机械能守恒定律中的保守力是指质点受到保守力的合力，严格讲在斜面和单摆问题中不是重力机械能问题，因为此时质点受到的合力不等于重力，不过在相对于斜面和单摆悬挂点静止的坐标系里计算的结果和重力机械能计算结果相同，因为另外一个保守力不做功[4]（正因为如此人们才误认为是重力机械能问题），但是在相对于该坐标系匀速运动的坐标系里这个保守力做功，改变了质点的动能和势能，不改变质点的机械能.如果看做是重力机械能问题必须把另外一个保守力的做功去掉（即把这个力看做外力），否则就不满足力学相对性原理了.4、惯性系与惯性力惯性力是指:当物体有加速度时（可以是加速阶段，也可以是减速阶段）时，物体具有的惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，而此时若以该物体为参考系，并在该参考系上建立坐标系，看起来就仿佛有一股方向相反的力作用在该物体上令该物体在坐标系内发生位移，因此称之为惯性力.因为惯性力实际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因此惯性力又称为假想力.它概念的提出是因为在非惯性系中，牛顿运动定律并不适用.惯性系是指牛顿定律成立的坐标系，在惯性系里一定测量不到惯性力，在地面上做力学实验我们一般默认地面系是惯性系，那么相对于地面匀速运动的小车系或者说电梯系都是惯性系，惯性系里测量不到惯性力，在这样的坐标系利用惯性力解释问题都是错误的.我们在默认地面系是惯性系的同时，已经默认了地球的质量充分大，忽略其能量的变化，因此研究机械能守恒定律与力学相对性原理关系时两个惯性系都不应该考虑地球能量的变化，我们不能研究伽利略变换时，地面系和电梯系都是惯性系，考虑能量变化时都是非惯性系，前后必须做到自洽.如果按照非惯性系处理，则地面系也不守恒.5、内势能与外势能的关系“势能属于系统”理论上没有错误，尤其是内势能问题（例如分子势能），但是当相互作用的两个物体质量相差极大——例如在自由落体问题中，经过计算可知对于地球能量的变化微乎其微，系统相对误差在10-25至10-26范围内，不仅远远小于空气阻力的影响，也小于重力加速度变化产生的误差，甚至小于狭义相对论效应，完全可以忽略，我们在地面系计算重力势能时忽略了地球能量的变化，在电梯系也必须忽略---------量变引起了质变.“重力势能属于地球和物体”理论上没有错误，但是没有实际意义.“重力势能属于物体是一种通俗的说法”表述错误，应该是一种精确度极高的表述，换句话说“物体由于被举高具有的能量叫重力势能，重力势能属于物体”可以认为完全正确.在弹力问题中，如果弹簧连接两个质量差不多的物体按照内势能计算，内势能具有伽利略变换的不变性，弹簧与地面相连，必须按照外势能计算.在研究机械能守恒定律与力学相对性原理之间的关系一定注意要么都按照内势能计算，要么都按照外势能计算，前者必须以系统的质心为参照系，后者以质量相对极大的物体为参照系，一定做到自洽.对于内势能而言，一对保守力做功等于势能的减少，例如分子势能；对于外势能，一个保守力做功等于势能的减少（另一个保守力做的功因为极其微小忽略）；内势能也可以看做质心为参照系两个质点的外势能.[6]在弹簧振子问题势能应该是振子的势能，类似于自由落体，不要误认为是弹簧的势能.周衍柏《理论力学教程》（1979年第一版，人民教育出版社）第47页“由于物体间相对位置发生变化所具有的能量，通常叫做势能.”这里势能应该是指内势能，具有伽利略变换的不变性，因为参照系的匀速运动同时改变两个质点的势能，但是它们的总势能没有变化.关于内势能的机械能守恒定律满足力学相对性原理力学界是取得共识的[14]，外势能的机械能守恒定律也满足力学相对性原理，不过此时势能与观察者有关，动能也与观察者有关，对于不同的惯性系中的观察者机械能都是守恒的，只不过守恒量不相同.6、势能是位置的函数以弹簧振子为例，在小车系对任一点x1，尽管不同时刻场的强度是变化的，我们设力用F(x1，t)表示，不同时刻保守力做的功为W，则W=111(,)xxFxtdx，根据势能的定义，该点的势能不变，因此势能是位置的函数.运动质点（小球）的坐标随时间变化，不是场力f随时间变化，弹力场是一个稳定场.7、势能定义与势能公式之间的关系纵观30多年来关于机械能守恒定律与力学相对性原理关系的讨论可以发现，在弹力、重力和引力机械能问题根据定义求解的是满足力学相对性原理，根据经典势能公式求解的是不满足力学相对性原理.由于势能本质是保守力的功，而保守力的元功是坐标函数的全微分，可积分的，积分值为末态始态之差与积分路径无关，因此外势能也具有相对性.在经典力学教材中我们一般都是根据势能定义推导势能公式的，因此势能定义比公式更基本，以弹性势能为例(重力势能和引力势能也存在类似问题，本文不再说明)，Ep(t)221cos2kAωtmωuAsin(ωt)=21kx2mωuAsin(ωt)=21mω2x2mωuAsin(ωt)=21kx2+mvu应该是弹簧振子中弹性势能的一般公式（参考系相对于地面变速运动也可以得出一个势能公式，但是此时测量的机械能不再守恒，不是本文的研究范围，在此从略），没有否定经典的弹性势能公式，原来的公式只是一个特例——观察者在弹簧弹力方向上没有位移或者说分速度为0（相对于固定点静止或者垂直于弹力方向上匀速运动），不能认为弹性势能对于所有的观察者都相同，需要根据“物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功”重新计算(万有引力引力势能Ep=mGMrmvu，重力势能mghmvu)，当观察者在力的方向上分速度不相等时，计算保守力做的功不相等，因此势能差也应该不相等，这说明弹性势能和重力势能一样具有相对性，这是经典力学在公理化的过程中向前迈进的一小步.经典的势能公式对于内势能成立——内势能具有伽利略变换的不变性.不少人认为经典的势能公式适用于所有的惯性系，在功能原理中排斥外势能的存在，认为都是内势能，但是在地面系按照外势能计算，是造成这场持续半个多世纪争论的重要原因.8、简要证明与主要结论文献[7]证明了在自由落体运动和斜面问题中机械能守恒定律满足伽利略变化，文献[8]说明弹性势能机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[9]论证了在引力机械能守恒定律满足伽利略变换.机械能守恒定律成立的条件其实非常简单——只有保守力做功，这一点其实早已经取得了共识的，后来由于出现了这一场跨世纪的争论，才导致了多种描述，对于这个内容可以参考文献[10][11][12][13].下面给出一个一般的证明——根据动能定理，设质点仅仅受到保守力的作用，保守力的合力做的功为W,W=Ek1—Ek0，Ek1是t1时刻的动能，Ek0是t0时刻的动能.根据势能的定义，W=Ep0—Ep1，Ep1是t1时刻的势能，Ep0是t0时刻的势能.所以Ek1—Ek0=Ep0—Ep1，所以Ek1+Ep1=Ek0+Ep0.机械能守恒定律成立，满足伽利略变换，也具有单独的协变性.牛顿定律满足伽利略变换是动能定理满足伽利略变换的充分条件，动能定理满足伽利略变换是机械能守恒定律满足伽利略变换的充分条件，即牛顿定律满足伽利略变换是机械能守恒定律满足伽利略变换的充分条件.说得更本质一些，由于机械能守恒定律只与所受到的力有关系，而力是伽利略变换的不变量，所以机械能守恒定律满足力学相对性原理.无论内势能还是外势能，都满足力学相对性原理，注意前后必须自洽，即两个惯性系必须利用同一种方法.力学相对性原理仅仅涉及牛顿定律及其推论（动量定理与动量守恒定律、动能定理与功能原理（含机械能守恒定律）、角动量定理与角动量守恒定律），是质点动力学规律，不涉及运动学规律、胡克定律以及声波方程等非牛顿定律的推论.[15]相对性原理不是一个物理理论，而是对于物理理论的一个要求，是物理中的物理，满足相对性原理是一个理论成立的必要条件，满足力学相对性原理即满足伽利略变换.参考文献：[1]熊秉衡.在不同惯性系中的机械能守恒定律，物理（原名《物理通报》），1964（6）：261～264.[2]熊秉衡.“在不同惯性系中的机械能守恒定律”一文的更正与补充，物理（原名《物理通报》），1965（3）：116～117.[3]蔡伯濂.关于讲授功和能的几个问题，工科物理教学，1981（1），7-13.[4]朱如曾.弹簧振子相对于运动惯性系的机械能不守恒——关于‘对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷’的商榷，物理通报，2015（4）：100-103[5]郑永令，力学（2004年1月第2次印刷）：194页.[6]孟昭辉，运用机械能守恒定律解题的参照系问题——对“一道中学生物理竞赛试题答案的商榷”一文的不同意见，物理教师，2015（2）：94[7]赵文桐，刘文芳，刘明成.重力机械能守恒定律在各惯性系都成立，物理通报，2015（3）：96～98.[8]李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷.物理通报，2014（9）：119～120.[9]刘明成，赵文桐，刘文芳.引力机械能守恒定律在各惯性系都成立.物理通报