多元函数微分学的应用.

第八章第六节一、几何应用三、全微分在近似计算中的应用多元函数微分学的应用1.空间曲线的切线与法平面2.曲面的切平面与法线二、二元函数可微的几何意义★回顾:平面曲线的切线与法线①已知平面光滑曲线),(xfy),(00yx切线方程0yy法线方程0yy②若平面光滑曲线方程为,0),(yxF,),(),(ddyxFyxFxyyx故在点切线方程法线方程)(0yy),(00yxFy)(),(000xxyxFx0))((00xxxf)()(100xxxf在点有有因0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0xx一、几何应用)0)((0xf过点M与切线垂直的平面称为曲线在极限位置.T空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的该点的法平面.1.空间曲线的切线与法平面M(1)曲线方程为参数方程的情形)()(,)(,)(:βtαtωztψytφx写成向量形式：))(,)(,)(()(tωtψtφtr))(,)(,)(()(0000tωtψtφtrΓ上点处的切线的方向向量由第七章知MT000zzyyxx)(0tφ)(0tψ)(0tωΓ上点处的切线方程此处要求)(,)(,)(000tωtψtφ称为曲线Γ的切向量如个别为0,不全为0,))(,)(,)((tωtψtφT则理解为相应的分子为0.))(,)(,)((000tωtψtφT曲线Γ上点处的切向量.),,(000zyxM指向参数t增大的方向.:))((00xxtφ也是法平面的法向量,)()(00yytψ0))((00zztω因此得法平面方程曲线Γ上点处的),,(000zyxMo)(trTM注若光滑曲线Γ表示为：切线方程：000zzyyxx1)(0x)(0x法平面方程：)(0xx)()(00yyx0))((00zzx切向量：处则在点,),,(000zyxM)(),(,100xxT：0),,(0),,(zyxGzyxF)()(xψzxφy有由,0))(),(,(0))(),(,(xxxGxxxF0)()(0)()(xGxGGxFxFFzyxzyx(2)曲线方程为一般方程的情形)0),(),((zyGFJ若xx可求得曲线)(),(,100xxT0)()(0)()(xGxGGxFxFFzyxzyxMxyxyzxzxGGFFJGGFFJ1,1,1,,,1MyxyxxzxzGGFFGGFFJJ.zyzyGGFFJ其中切向量求法之一处的切向量：在),,(000zyxM000zzyyxx于是在点),,(000zyxM切线方程：处有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),(或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(切向量求法之二xyz法平面方程为：.0)()()(000zzGGFFyyGGFFxxGGFFMyxyxMxzxzMzyzy求曲线:tuuduex0costysin2tcos,tez31在0t处的切线和法平面方程.解当0t时，,2,1,0zyx,costext,sincos2tty,33tez)2,1,0(M切点：例1)3,2,1(0),,(tzyxT切向量：求空间曲线的切线(或法平面)：一求切点；二求切向量.切线方程:,322110zyx法平面方程:,0)2(3)1(2zyx.0832zyx即例2求曲线0,6222zyxzyx在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.MzyGF),(),(解(方法1)则切向量Mzy1122Mzy)(2;6)6,0,6(xyzMMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(点M(1,–2,1)，切向量：)6,0,6(T切线方程即.02y,02zx法平面方程0)1(6)2(0)1(6zyx即0zx每个方程两边对x求导,得xzddxydd曲线在点M(1,–2,1)处的切向量为:解得,zyxzzyyx)1,0,1(MMxzxyTdd,dd,1(方法2).0,6:222zyxzyx切线方程即法平面方程0)1()1()2(0)1(1zyx即0zx(方法3)将在后面介绍.点M(1,–2,1)处的切向量)1,0,1(T2.曲面的切平面与法线(1)形如z=f(x,y)的曲面的切平面与法线),(00yxfx0),(yyyxfz在点M0处的切线是曲线对x轴的斜率.xTM0tan00),(ddxxyxfxxTM0xyzo0yy0M),(00yxP0),(yyyxfz),(00yxfy在点M0处的切线是曲线对y轴的斜率.00),(ddyyyxfytan0),(xxyxfzyTM0xyzoyTM00xx0M),(00yxP0),(xxyxfz曲线xTM00),(yyyxfz在点M0处的切向量为：0)),(,0,1(0Mxyxf)),(,0,1(00yxfx同理，0)dd,dd,1(Mxzxy曲线在点M0处的切向量为：0),(xxyxfzyTM00)dd,1,dd(Myzyx0)),(,1,0(0Myyxf)),(,1,0(00yxfy0),(xxyxfzyxMTMT与确定的平面为曲面z=f(x,y)在点)),(,,(0000yxfyxM处的切平面.定义设z=f(x,y)在点(x0,y0)具有连续偏导数，称由切线xyzo0yy),(00yxPxTM0yTM00MyTM00M0xxTM0切平面的法向量:yxMTMTn),(10),(010000yxfyxfkjiyx)),(,0,1(000yxfTMxx)),(,1,0(000yxfTMyykjyxfiyxfyx),(),(0000)1,),(,),((0000yxfyxfnyx曲面z=f(x,y)在点M0的法向量xyzo0yy),(00yxPxTM0yTM00MyTM00M0xxTM0称通过点)(),(000xxyxfx)(),(000yyyxfy0)(0zz切平面的直线为曲面z=f(x,y)在点M处的法线.),,(000yxfz记),,(000zyxM且垂直于法线方程:1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx:切平面方程求曲面的切平面(或法线)方程:一求切点,二求曲面的法向量.xyzo0yy),(00yxPyTM0xTM00x法线0M用表示法向量的方向角,并假定法向量方向向上,法向量：)1,),(,),((0000yxfyxfnyx将),(,),(0000yxfyxfyx,,yxff分别记为则法向量的方向余弦：注1º法向量的方向余弦xyzo0yy),(00yxPyTM0xTM00x法线0M法向量)1,),(,),((0000yxfyxfnyx的方向余弦：2º可以证明：在曲面上通过点M0且在点M0处有切线的任一曲线在该点的切线都在同一平面(曲面的切平面)上.设曲面的方程为:),(yxfz),,(0000zyxM处连续，则在),(,00yxffyxnT0MM0t0nT0MM0t0)),(),(),((000tttT曲线在点M0处的切向量：在曲面上任取一条,)()()(:tztytx证通过点M0的曲线曲线在点M0处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx上在曲线)](),([)(ttftz)()](),([)()](),([)(tttftttftyx故0)}()](),([)()](),([{)(0ttyxtttftttft)(),()(),(000000tyxftyxfyx0)(1)(),()(),(0000000ttyxftyxfyx即)1,),(,),((0000yxfyxfnyx——曲面z=f(x,y)在点M0的法向量,0TnTn即所确定和其上的点曲面由而0Mn的平面上，为法向量且以处的切线必在过点在点nMM00即在切平面上.再由的任意性，可知命题成立.例3解.)3,1,1(222方程处的切平面方程及法线在点求椭圆抛物面yxz,2),(22yxyxf记则),(yxfx),(yxfy,)1,1(处在点,4)1,1(xf,2)1,1(yfn故法向量).1,2,4(从而0)3()1(2)1(4zyx,4x,2y即.0324zyx:法线方程.132141zyx:切平面方程),1,1((xf),1,1(yf)1(2)形如F(x,y,z)=0的曲面的切平面与法线若光滑曲面：,0),,(zyxF函数F(x,y,z)具有连续的一阶偏导数，且),,(000zyxM,0),,(000zyxFz则0),,(:zyxF),,(:yxfz隐函数存在定理法向量：)1),,(),,((0000yxfyxfnyx,(zxFF,zyFF0)1M),,(1000zyxFz),,,(000zyxFy)),,(000zyxFz),,,((000zyxFx)1),,(),,((0000yxfyxfnyx,),,(),,((000000zyxFzyxFzx,),,(),,(000000zyxFzyxFzy)1)),,(,),,(,),,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx——曲面F(x,y,z)=0在点M0的法向量)(),,(0000xxzyxFx法线方程000zzyyxx)(),,(0000yyzyxFy0))(,,(0000zzzyxFz切平面方程),,(000zyxFx),,(000zyxFy),,(000zyxFzM例4求椭球面3632222zyx在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解所以在球面上点(1,2,3)处有:切平面方程)1(x即法线方程.321zyx)2(4y149法向量令)6,4,2(zyxn)18,8,2()3,2,1(n)9,4,1(20)3(9z注0),,(0),,(:zyxGzyxF求光滑曲线切向量的第三种方法：)),,(,),,(,),,((0000000001zyxFzyxFzyxFnzyx)),,(,),,(,),,((0000000002zyxGzyxGzyxGnzyx21nnT,1nT2nT1T1n2n0M2处的切向量：在点曲线0M)//(210nnGGGFFFkjiMzyxzyx例2解（方法3）切线方程即02y曲线的切向量：0,6222zyxzyx在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.求曲线的法向量分别为：),1,2,1(2MMzyxn)2,2,2(1),1,1,1(2Mn)6,0,6()1,1,1()1,2,1(MT,0)1(6)2(0)1(6zyx法平面方程