多元函数求导经典例题.

多元函数习题课一学习要求(1)理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义;(2)理解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭域上连续函数的性质;多元函数的概念极限及连续(3)理解偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要和充分条件,了解全微分形式不变性;(4)掌握复合函数的一阶和二阶偏导数的求法;(5)会求隐函数的偏导数;(6)掌握高阶偏导数与高阶微分的概念,掌握二阶偏导数的计算多元函数的偏导数及全微分偏导数的应用(7)正确理解多元函数极值的概念,极值存在的必要条件和判断极值的充分条件;会求一般函数的极值,会利用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值.(8)理解二重积分的概念,了解二重积分的性质;(9)掌握二重积分(直角坐标,极坐标)的计算方法;(10)了解广义二重积分的概念和计算方法.多元函数积分学二、主要内容平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多元函数概念全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性偏导数在经济上的应用多元函数的极值全微分概念偏导数概念1.区域设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，（1）邻域),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx0P（3）n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组),,,(21nxxx的全体为n维空间，而每个n元数组),,,(21nxxx称为n维空间中的一个点，数ix称为该点的第i个坐标.（2）区域连通的开集称为区域或开区域．2.多元函数概念。上）的图形（或图像）（在为函数中的子集的值域，并且称称为函数的定义域，称为函数称为因变量，称为自变量，其中或值）函数，记作元（实上的一个称为定义在的任一映射到实数集的一个非空子集，从是设DxfyDxxfyyxxxRfDxxfDffDyxxxDxxxxfxfyRRDfnDfRDRDnnnnnn,,,,,,,,,,,,:2112121定义3.多元函数的极限定义设函数),(yxfz的定义域为),(,000yxPD是其内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz当0xx，0yy时的极限，记为Ayxfyyxx),(lim00（或)0(),(Ayxf这里||0PP）.说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4.极限的运算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP则时，设5.多元函数的连续性定义设函数),(yxf的定义域为点集)(,0,00yxPD是D的内点或边界点且DP0，如果)()(lim00PfPfPP则称函数),(yxf在点0P处连续.如果),(yxf在点),(000yxP处不连续，则称0P是函数),(yxf的间断点.6.闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值．（2）最大值和最小值定理（1）有界性定理有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（3）介值定理定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为7.偏导数概念同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导数，记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可以定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.８.高阶偏导数),,(22yxfxzxzxxx),,(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy).,(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.的相对改变量函数对存在处偏导数在设函数xyxyxfz,,,yxfyxfyxxfzzx,,,之比的相对改变量与自变量xxxxxzzx.,两点间的弹性到从对称为函数xxxxyxf９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性即.lim0zxxzxxzzEExxxzx,0时当xxxzzx记作的弹性处对在的极限称为,,,xyxyxf,xzxEE或.lim0zyyzyyzzEEyyyzy的弹性处对在类似地可定义yyxyxf,,.,,,,,,表示需求对收入的弹性需求对价格的弹性表示则表示消费者收入表示价格表示需求量中如果特别地yxyxzyxfz如果函数),(yxfz在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz可以表示为)(oyBxAz，其中A,B不依赖于yx,而仅与yx,有关，22)()(yx，则称函数),(yxfz在点),(yx可微分，yBxA称为函数),(yxfz在点),(yx的全微分，记为dz，即dz=yBxA.10.全微分概念多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导11.全微分的应用,),(),(yyxfxyxfdzZyx.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx有很小时当,,yx主要方面:近似计算与误差估计.12.复合函数求导法则定理　如果函数)(tu及)(tv都在点t可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)](),([ttfz在对应点t可导，且其导数可用下列公式计算：dtdvvzdtduuzdtdz．以上公式中的导数称为全导数.dtdz如果),(yxu及),(yxv都在点),(yx具有对x和y的偏导数，且函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([yxyxfz在对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz.13.全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dvvzduuzdz.0),()1(yxF隐函数存在定理1设函数),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00yxF，0),(00yxFy，则方程0),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(00xfy，并有yxFFdxdy.隐函数的求导公式14.隐函数的求导法则隐函数存在定理2设函数),,(zyxF在点,(0xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0xF0),00zy，0),,(000zyxFz，则方程,,(yxF0)z在点),,(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条件),(000yxfz，并有zxFFxz，zyFFyz.0),,()2(zyxF15.多元函数的极值设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点),(yx：若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极大值；若满足不等式),(),(00yxfyxf，则称函数在),(00yx有极小值；定义极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定理1（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00yxfx，0),(00yxfy.多元函数取得极值的条件定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.极值点注意驻点定理2（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又0),(00yxfx,0),(00yxfy，令Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02BAC时有极值，当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02BAC时没有极值；（3）02BAC时可能有极值.求函数),(yxfz极值的一般步骤：第一步解方程组,0),(yxfx0),(yxfy求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值CBA、、.第三步定出2BAC的符号，再判定是否是极值.拉格朗日乘数法要找函数),(yxfz在条件0),(yx下的可能极值点，先构造函数),(),(),(yxyxfyxF，其中为某一常数，可由.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx解出,,yx，其中yx,就是可能的极值点的坐标.条件极值：对自变量有附加条件的极值．三、典型例题1多元函数极限计算多元函数极限的常用方法：（1）利用不等式，使用夹挤定理；（2）利用极坐标或其他变量代换转化成一元函数的极限；（3）利用各种可利用的一元函数求极限的方法；（4）利用函数的连续性；（5）若事先能看出极限，可利用极限定义证明。222211)1(1)ln(lim1yxxyyxyx求极限：例解222211)1(1)ln(limyxxyyxyx112ln12ln解例2.)(lim2200yxxxyyx求极限)0(,sin,cosrryrx令.0)0,0(),(ryx等价于则2200)(limyxxxyyx220)sin()cos(cos)cossin(limrrrrrrcos)cos(sinlim0rr0注意：在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,的变化.解（1）yxyyxxyxyx22220yyxx22yx0)(lim00yxyx0lim2200yxyxyx例3yxyxyx2200lim)1(求极限yxyxyx11lim)2(2200)(21~11,0,0,0)2(222222yxyxyxyx时yxyxyx11lim2200yxyxyx)(21lim22000224400)si