多变量问题的处理策略

1多变量问题的处理策略例1.函数)(2)(2babxaxxf，其中ba,为正实数，若函数)(xf的图像经过点)3,2(，求ba的最大值.解：由题意3)(44)2(babaf，1ba，41)2(2baab当21ba时取得变式1：函数)(2)(2babxaxxf，其中ba,为正实数，若函数)(xf的图像经过点)3,2(，求ba2的最小值。解：由题意3)(44)2(babaf，10,11aabba，4343)21()1(222aaaba此时21ba变式2：函数)(2)(2babxaxxf，其中ba,为正实数，求函数)(xf的图像截x轴所得线段的长度的取值范围。解：设0)(22babxax的两根21,xx，)(442baab为正实数则abaabxxxxxx22212212124)(432121222abababba,为正实数0ab2432122ab故线段长度的取值范围是，2变式3：函数)(2)(2babxaxxf，其中ba,为正实数，若关于x的方程2)1()(xaxf有两个根21,xx，且满足21021xx，求21ab的取值范围。解：2)1()(xaxf即为0)(22babxx2令)(2)(2babxxxh只需044)2(021)1(0)0(babhbabhbah即为4310bababa，深度剖析:题型一多变量求最值问题例1.(利用基本不等式,放缩消元)变式1：(利用变量间的等式,代换消元)变式2：(多个变量进行组合,整体换元)变式3：(对变量组合赋予几何意义,数形结合)3横看成岭侧成峰，远近高低各不同题型二方程、不等式等综合问题中的多变量问题例2.（14江西八校联考改编）“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.在数学的解题中，若能恰当地改变分析问题的角度，往往会有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的豁然开朗之感.阅读以下问题及其解答：问题：对任意2,1a，不等式012-2axx恒成立，求实数x的取值范围.解：令)1(2-)(2xxaaf，则对任意2,1a，不等式012-2axx恒成立只需满足014)2(012)1(22xxfxxf，所以32,32xx或者.类比其中所用的方法，可解得关于x的方程)30(0)2(223aaaaxxax且的根为_______________.变式1.不等式012-2axx对于2,1x恒成立，求实数a的取值范围4变式2：不等式02-2baxx对于2,21x且2,0a恒成立，求实数b的取值范围变式3：不等式02-2baxx对于任意的2,1a，都存在2,21x恒成立，求实数b的取值范围策略方法技巧1、处理多变量的求最值问题：多元变少元①等量关系，代换消元②多元整合，整体换元③不等关系，合理放缩④线性规划数形结合2、处理多参数问题的原则：多元定主元函数、方程、不等式中的主元与辅元都是相对的，根据需要，确定主元（逐步确定主元）可以使得很多问题化解题型三多元求最值问题例3．(2013山东)正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为()A．0B．1C.94D．3【解析】由题意得z＝x2－3xy＋4y2，∴xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤12xy·4yx－3＝1，当且仅当xy＝4yx，即x＝2y时，等号成立，∴2x＋1y－2z＝22y＋1y－24y2－6y2＋4y2＝－1y－12＋1≤1.5例4．设,Ra函数)11(,)(2xaxaxxf若,1||a证明:45|)(|xf解：⑴当1x时，1)(ag，适合45)(ag。⑵当11x时，,)1()(2xaxag)11(a是关于a的一次函数，且012x，函数)(agy在1,1a是减函数，则)1()()1(gagg；欲证45)(ag，即证45)(45ag；只需证45)1(g且45)1(g成立。又)1(gxx124545)21(2x；)1(gxx124545)21(2x。因此原结论成立★最值问题，取值范围问题一直深受命题者的青睐。★随着新课程的改革，高中数学与大学数学衔接，求多元函数（即多变量函数）的最值，又或是多参数的函数与不等式等的综合问题逐渐成为高考中的热点和难点问题。★多元问题涉及的知识面广，往往涉及到函数、方程、不等式、三角、平面几何、向量等知识，灵活性、综合性很强，解决方法较多，蕴涵了丰富的数学思想和方法。