多自由度水平地震作用.

工程抗震原理PrinciplesofSeismicEngineering土木工程专业本科专业课第三章建筑结构抗震原理主要内容工程结构抗震原理2/322第一章工程抗震基础知识第二章场地与地基基础抗震原理第三章建筑结构抗震原理第六章桥梁结构抗震原理第七章工程结构减震控制原理第三章建筑结构抗震原理第三章建筑结构抗震原理§1概述§2单自由度体系地震反应分析§3单自由度体系水平地震作用§4多自由度体系地震反应分析§5地震分析振型分解反应谱法§6水平地震作用的底部剪力法§7考虑扭转的水平地震作用§8结构竖向地震作用§9建筑结构抗震验算§10结构自振周期和频率的实用计算方法§11工程结构地震反应的时程分析方法§12地基与结构动力相互作用效应第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析4.1动力方程的建立实际工程结构的质量都是沿结构几何形状连续分布的，因此，严格地说，其动力自由度应该是无限的。但是，采用无限自由度模型，一方面计算过于复杂；另一方面也没这种必要，因为，选用有限多自由度模型的计算结果已能充分满足一般工程设计的精度要求。因此，在研究和应用中，一般通过结构的离散化方法，将无限自由度体系转化为有限自由度体系。第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析由结构动力学理论可知，结构离散化的基本方法有广义坐标法、有限元法和集中质量法。集中质量法是最早提出、也是最简单的方法。这一方法人为地将质量集中于一些点处，与之相对应，结构的刚度特性、阻尼特性、荷载特征则被集中于质量的平移自由度方向。集中质量法所带来的计算便利是显而易见的，但是，对于动力问题，不适当地集中质量也可能导致较大的计算误差。因此，对集中质量法应附加动能等效原则，即集中前后体系的动能不发生显著变化。第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析定义影响系数αij是由j坐标单位物理量在i坐标方向上引起的力，其具体含义可以是刚度系数、阻尼系数、质量等。对于一般多自由度体系，假定任意时刻t，j坐标方向的位移（相对于平衡位置）为uj，相应的速度、加速度分别为、。则在此时刻，所有j坐标处的物理量（包括i坐标处）与相应于坐标i处的影响系数乘积之和即为i坐标方向所受到的力，即：juju第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析惯性力：其中mij—质量，对于集中质量法，i≠j时mij=0；恢复力：kij—刚度系数；n—动力自由度数;阻尼力:cij—阻尼系数。根据达朗贝尔原理，上述各力之和即等于i坐标处作用的外力pi(t)，即：•8/180jnjijIiumf11nsiijjjfkujnjijIiumf1),,2,1()(1nipukucumijijjijjijnjummi惯性力弹性力阻尼力(a)(b)()tu1()tfI()tfS()tfD()t第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析全部n个坐标的运动方程可用矩阵形式表示为式中，[M]、[C]和[K]—分别为结构离散体系的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，对于集中质量法，[M]为对角矩阵；{uj}、{}和{}—分别为结构离散体系的位移向量、速度向量和加速度向量；{P}—动外力向量。}{]][[}]{[}]{[PukucuMjuju第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析图示多自由度弹性体系在水平地震运动作用下的变形情况。这时，体系上并无动外力p(t)作用，仅有地震引起的地面运动。此时，i质点的惯性力为：)(giiIixumfummi惯性力弹性力阻尼力(a)(b)()tu1()tfI()tfS()tfD()t)(txg第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析注意到弹性力和阻尼力仅与相对位移和相对速度有关，因此，由达朗贝尔原理可得水平地震运动作用下的运动方程为：写成矩阵形式为：式中，{I}—惯性力指示向量，),,2,1(0])([1niuuucxumjijjijgiinjgxIMuKuCuM}]{[}]{[}]{[}]{[TI},1,1,1{}{第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析4.2地震反应分析的振型叠加法1.振型与自振频率求解弹性体系的自振频率和振型称为自振特性分析。由于体系的固有频率和相应的振型都仅取决于体系自身的性质，而与时间无关，所以从广义的观点，自振特性分析的基本手段是变量分离法，即把时间因素与结构位置因素分离后，利用特征方程具有非零解的充分必要条件求取自振频率及相应的振型。第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析无阻尼多自由度弹性体系的自由振动方程为：设结构作简谐振动，其位移反应为：式中，ω—自振频率；θ—初始相位角;{ϕ}—仅与位置坐标有关的向量。可以得到特征方程：根据线性代数的知识，特征方程存在非零解的充要条件是系数行列式等于零，即得到频率方程：}0{}]{[}]{[uKuM)sin(}{}{tu0}]){[]([2MK0|][][|2MK第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析对于稳定结构体系，其质量矩阵和刚度矩阵具有实对称性和正定性，所以，相应的频率方程的根都是正实根。对于处于随遇平衡状态或不稳定状态的结构体系，频率方程会出现等于零的重根或虚根。一般地，地震工程中遇到的结构体系多为稳定体系。第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析根据特征方程：对应于频率方程中的每一个根，都存在特征方程的一个非零解{ϕj}，称为振型向量，或叫特征向量，或叫模态向量。由于特征方程的齐次性，该非零解是不定的，即振型向量幅值是任意的，但形状是唯一的。因此，振型定义为结构位移形状保持不变的振动形式。根据可知，若结构体系按某一振型振动，则体系的所有质点将按同一频率作简谐振动。0}]){[]([2MK)sin(}{}{tu第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析为了对不同频率的振型进行形状上的比较，需要将其化为无量纲形式，这种转化过程称为振型的规格化。振型规格化的方法可采用下述三种方法之一：(1)特定坐标的规格化方法：指定振型向量中某一坐标值为1，其它元素按比例确定；(2)最大位移值的规格化方法：将振型向量各元素分别除以其中的最大值；第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析(3)正交规格化方法：令其中对于[M]为对角质量矩阵时，可简写为：式中，ϕji—j振型向量第i坐标处的值；Mj—j振型的广义质量。jjjM/}{}{}]{[}{jTjjMM21jiniijmM第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析2.振型的正交性根据特征方程：分别对振型i、j列出运动方程：左式(a)两边乘以向量{ϕj}的转置{ϕj}T，右式两边乘以向量{ϕi}的转置{ϕi}T，则有：左式不变，而对右式进行转置运算可得•18/1800}]){[]([2MK}]{[}]{[2iiiMK}]{[}]{[2jjjMK}]{[}{}]{[}{2iTjiiTjMK}]{[}{}]{[}{2jTijjTiMK}]{[}{}]{[}{2iTjjiTjMK}]{[}{}]{[}{2iTjiiTjMK第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析将右式减去左式，可得：若ωj≠ωi，则有：同时有：分别称为振型对质量矩阵的正交性和振型对刚度矩阵的正交性。0}]{[}){(22iTjijM)(0}]{[}{jiMiTj)(0}]{[}{jiKiTj第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析振型对质量矩阵的正交性的物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力在其它振型上所作的功为零。这说明某一个振型的动能不会转移到其它振型上去，或者说体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。振型对刚度矩阵正交性的物理意义是，体系按某一振型振动时，它的位能不会转移到其它振型上去。第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析振型的两两正交特性说明它们具备作为一类线性空间基底的基本条件。事实上，由振型向量所张成的线性空间正是一般动力反应空间，在这空间的任一点表示一个特定的动力反应，并且这一点的坐标值可由关于基底（振型）的广义坐标给出。第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析3.正交阻尼若无外部能量输入，则任何原来振动的物理系统都会随着时间的增长趋于静止，这是因为系统的能量会因为某些原因而耗散。产生振动系统能量耗散的原因称为阻尼。目前，关于结构振动的耗能机理并不十分清楚，已经提出的许多材料阻尼的数学模型，每一种模型都有其适应范围和局限性。由于结构的阻尼机制十分复杂，工程上常采用简单的正交阻尼模型。第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析目前工程上广泛应用的是瑞雷阻尼模型，其数学表达式为：式中，α0、α1—瑞雷阻尼系数。由于振型向量对质量矩阵和刚度矩阵具有正交性，因此，对于瑞雷阻尼模型，也有：即振型对阻尼矩阵也具有正交性。利用上述正交性条件，并注意到：KMC10)(0}]{[}{jiCiTjjjjMK/2jjjjMC/2第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析其中：为第j振型的广义质量；为第j振型的广义刚度；为第j振型的广义阻尼；为第j振型阻尼比。因此有：若已知任意两阶振型的阻尼比，则可定出阻尼系数：}]{[}{jTjjMM}]{[}{jTjjKK}]{[}{jTjjCCj)/(2110jjj220)(2jijijiij221)(2jijjii第三章建筑结构抗震原理第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析对于一般的多自由度线弹性体系，有：式中，为位移向量；为广义坐标向量；为振型矩阵，其中{ϕj}为体系的第j个振型向量。将上式两边分别前乘{ϕj}T[M]，利用振型关于质量矩阵的正交性及上式，可导出广义坐标与一般位移反应的关系。一般用于决定各振型的初始条件。)}(]{[)(}{)}({1tqtqtujnjjTntutututu)}()()({)}({21Tntqtqtqtq)}()()({)}({21}]{}{}[{][21n)}(]{[}{1}]{[}{)}(]{[}{)(tuMMMtuMtqTjjjTjTjj第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析在水平地震作用下，多自由度弹性体系的运动方程为：为应用振型分解法，一般采用瑞雷阻尼模型。将：代入，并前乘振型向量的转置{ϕj}T，利用振型向量对质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的正交性，可得：注意到gxIMuKuCuM}]{[}]{[}]{[}]{[)}(]{[)(}{)}({1tqtqtujnjj),,2,1()(}]{[}{)()()(njtxIMtqKtqCtqMgTjjjjjjjjjjMK/2jjjjMC/2第三章建筑结构抗震原理§4多自由度体系地震反应分析则上式可转化为：其中称为第j振型的振型参与系数。利用有阻尼体系的Duhamel积分公式：广义坐标qj(t)可表示为(假定初始条件为，)：),,2,1()()()(2)(2njtxtqtqtqgjjjjjj211/}]{[}{jiniijiniijTjjmmMIMttgdtextu0)(_)(sin)(1)()0)0(jqd