小学数学知识结构

小学数学知识结构王永祥建昌县教师进修学校-1-小学数学知识结构小学数学四个领域一数与代数在人类社会早期，人们在狩猎、采集果实等劳动中根据现实的需要而产生了简单的用1、2、3等数字表示物品的多少，用0表示没有。这就是最早的计数方法，也就是简单算筹。现在把这样的数称为自然数，通常用N表示。随着生产的发展，为了解决等分这样的问题又引进了分数，这也不可避免的为小数的产生提供了条件。又为表示具有相反意义的量来满足计数的需要引进了负数，在自然数集合N中添加负数形成了整数集Z。把由自然数发展而来的分数（整数可以看出分母为1的特殊分数）加上负数构成了有理数，用Q来表示。但量与量之间的比值无法用有理数来表示时，人们又引进了无理数来表示无限不循环小数，与有理数一起构成了实数集。为了解决负数开方问题，最终将数系发展成了复数集。从自然数集到整数集，从整数集到有理数集，再从有理数集到实数集乃至复数集的扩充，数集本身内部结构就逐渐完善，使得其运算也逐渐增多，但无疑，人们对数的创造和研究还在继续进行中……一、数的认识（一）整数的认识第一学段：100以内→千以内→万以内在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。数与代数数的认识数的运算常见的量探索规律式与方程比和比例图形与几何图形的认识图形的测量图形的运动图形的位置统计与概率数据分析过程数据分析方法数据的随机性综合与实践知识的综合方法的综合关注问题解决-2-能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算盘可以表示多位数（新增）。理解符号＜，＝，＞的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小。在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计。第二学段：万以上的数（自然数集N）在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数。结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计。例如果把100万张纸叠加起来，会有珠穆朗玛峰那么高吗？（在计算的过程中，要合理利用数的单位和度量单位来减少位数。）（二）负数的认识第二学段：自然数集N→整数集Z。在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量。把握两个层次：1．限定在了解的层次2．不脱离具体的生活情境：比如温度、收支等。（三）分数、小数和百分数的认识第一学段：初步认识小数和分数能结合具体情境初步认识小数和分数，能读、写小数和分数。能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小（新增）第二学段：准确的认识小数和分数（百分数）结合具体情境，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）。能比较小数的大小和分数的大小。自然数集N→整数集Z→有理数集Q例用算盘上的算珠表示三位数。会认、会读、会写、基数、序数、数的组成，试着从以上6个方面理解算盘上的数。-3-例将数50，98，38，10，51排序符号描述：“＞”或“＜”。学生可能会有不同的排序方法。例如，先找到最小（大）的，然后在剩余的数中再找到最小（大）的，依次将五个数按从小（大）到大（小）的顺序进行排序；或者先固定一个数（如50），拿第二个数（98）与之比较，然后取第三个数与前两个数比较，根据它们之间的大小关系决定位置，这样继续下去，最后将五个数排序。词语描述：大得多、大一些、小一些、小得多。对于用语言描述几个数之间的大小关系时，结论是相对的。例如，可以说51比50大一些，98比10大很多；而50比38是大一些，还是大得多，可能会有不同看法，但不应当出现逻辑上的混乱，例如，“50比10大一些，50比38大得多”。例估一估大约有多少本书？建立标准时估算的基础。例说明1/4，0.25和25%的含义。分数、小数和百分数都是有理数的常用表示方法，但含义是有所不同的。真分数通常表示部分与整体的关系，如全班同学的四分之一；小数通常表示具体的数量，如一只铅笔0.25元；百分数是同分母（统一标准）的比值，便于比较，如去年增长21%、今年增长25%。希望学生能够理解它们的含义，在生活中能够合理使用。（四）数的整除性相关的内容第二学段知道2，3，5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数；在1～100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。了解公因数和最大公因数；在1～100的自然数中，能找出一个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数。-4-关于数的整除性几点说明：1．把握具体内容的尺度，几个具体概念的要求都是了解。如，公倍数和最小公倍数等，学生知道即可。求公倍数和最小公倍数限制在10以内自然数。2．不是单纯为了学习数的特征，是与一些内容的学习密切相关，或为学习某些内容作准备。如分数计算是要运用最小公倍数进行通分等。3．注重数学思想的培养，如用筛选法找出一定范围内的质数。4．着力于学生能力的培养，比如数学思考。例找出100以内的质数一个一个的试划掉2、3、5、7的倍数排除法筛选法特殊的方法：记住2和3，而2和3两个质数的乘积为6。其它的质数都在6的倍数前、后的位置上。（五）数的简单应用第一学段：能运用数表示日常生活中的一些事物，并能进行交谈。第二学段：会运用数描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用。数的运用有两种情况：一是表示数量，如个数、体重、身高等，表示数量的数具有大小并且可以进行计算；二是数仅仅作为符号来使用，此时数没有大小和运算功能。比如一些事物的编码等。例学生编码某学校为学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生，例如，200903321表示“2009年入学的三班的32号同学，该同学是男生”。那么，201004302表示什么？这个例子可以启发学生思考，编号提供给我们一些什么信息，比如，一个年级最多有多少个班，一个班最多有多少名学生。可以引导学生设计本学校的学生编号方案。还可以启发学生通过观察学生证的编号估计学校的学生数。通过这方面内容的教学，可以增加学生对“数”的应用意识，扩展-5-数的使用范围，培养学生的数学交流能力，更深刻的理解数的意义，逐步建立数感。教学中应重视数的这一表示方式。明确两个“争议”：最小的自然数是0。最小的一位数是1。二、数的运算首先应当让学生理解的是面对具体的情形，确定是否需要计算。（为什么要运算）再确定需要什么样的计算方法。口算、笔算、计算器、计算机和估算都是供学生选择的方法，都是可以达到算出结果的目的。（怎样运算）得到准确的结果比运算的熟练程度更重要。（计算得正确吗？）（一）整数的运算第一学段：结合具体情境，体会整数四则运算的意义。能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数（新增）。能计算两位数和三位数的加减法，一位数乘两位数和三位数、两位数乘两位数的乘法，两位数和三位数除以一位数的除法。认识小括号，能进行简单的整数四则混合运（两步）（新增）。第二学段：能计算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。认识中括号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算。在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。需要强调的几个问题：要使学生把握四则运算的本质：加法是求和的运算，乘法是一类特殊的加法，即求相同加数的和，减法是求差的运算，是加法的逆运算，除法是求商的运算，是乘法的逆运算。让学生理解四则运算并了解它们之间的关系，是学好四则运算的基础。淡化对运算的熟练程度的要求。应当重视学生是否理解了运算的道理，是否能准确地得出运算的结果，而不应单纯看运算的速度。-6-在进行大数目的计算和探索复杂的现实问题是，可以使用计算器，使学生的经历更多地用于思考数量关系和规律。整理数据是，也可以用计算器。统计的重点不是计算，而是整理和分析数据，从数据中了解特点和规律。（二）分数、小数和百分数运算第一学段：会进行同分母分数（分母小于10）的加减运算以及一位小数的加减运算。第二学段：能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。整数运算要强调数位对齐，小数运算要强调小数点对齐，分数运算要注意分数单位，由于分数单位的不确定性，导致运算的复杂程度有所提高。必要时要进行通分和约分。（三）估算第一学段：能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用（新增）。第二学段：经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算。能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律。对于估算的要求：第一学段的估算强调在具体情境中选择合适的单位，比如例6学校组织987名学生去公园玩。如果公园门票每张8元，带8000元钱够不够？第二学段强调学生在解决问题的过程中，选择合适的方法进行估算。如例279.9×6.9比70小吗？（四）计算器计算第二学段：能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律。应当使学生了解计算器的功能和作用，特别是知道什么样的问题需要用计算器，以及如何用计算器解决问题。在进行大数目的计算和探索复杂的现实问题时，可以使用计算器，使学生的经历更多地用于思考数量关系和规律。整理数据是，也可以用计算器。统计的重点不是计算，-7-而是整理和分析数据，从数据中了解特点和规律。（五）问题解决和常见的数量关系第一学段：能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释。第二学段：在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题。问题解决是数学的核心。培养问题解决能力要贯穿于数学学习的全过程。认识小学数学中数量关系的两个基本模型：求和模型和乘积模型，总价=单加×数量路程=速度×时间，这两个模型具有代表性和普遍性。三、常见的量在第一学段出现：货币单位：元、角、分时间单位：年、月、日、时、分、秒质量单位：克、千克、顿这些都是计量单位，都与实际问题紧密联系，需要在现实情境中引入，在解决问题的过程中理解和掌握。这些内容安排不宜过早，待学生具有一定生活经验的时候学习，就会水到渠成。与几何测量有关的单位，像米、平方米等都安排在“图形与几何”内容中，长度单位基本在第一学段，面积和体积单位基本安排在第二学段。例一分钟有多长？可以帮助学生体验1分钟的长短，又是一个估计问题，需要实际测量，在测量的基础上进行简单计算。测量半分钟，然后用测得的数据乘2。测量1分。测量2分，然后用测得数据除以2。第一种方法省事，但可能不够准确；第三种方法费事，但可能更准确一些。通过感悟，帮助学生建立选择策略的思想。四、探索规律第一学段：探索简单情境下的变化规律。-8-第二学段：探索给定情境中隐含的规律或变化趋势。探索规律的内容重点在于探索过程，在于使学生通过观察、计算、操作、思考等方式，了解蕴涵在问题情境中的规律，学会思考问题的方法。例找规律解析三个具体问题虽然分别是数字、字母和图形，但其中表现的规律具有共同的模型。启发学生在探索规律的过程中感悟到：对于规律性的事物，无论是数字、字母还是图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同而已。五、式与方程第二学段在具体情境中能用字母表示数。结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2＝5，2x-x＝3），了解方程的作用。了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。例方程的解法教室里有一些学生，又分2次，没次进来15个同学，现在教室里一共有45个同学。原来教室里有多少个同学？算术法：45－15×2（和－部分=部分）用方程：先用x表示原来教室里有的人数。列方程是：x＋15×2=45（部分＋部分=总体）将未知数和已知数同等看待，反映了方程的本质。这也是代数思维与算术思维的基本区别。在解简单方程是应当用等式的性质，一方面体现代数方法的本质，另一方面是与第