小学英语语法教学

章节第三章变量变化速度与局部改变量的估值问题-----导数与微分课时6教学目的1.使学生准确掌握导数与微分的概念.明确其物理、几何意义，2.熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的导数、微分运算；教学重点及突出方法1.教学重点是导数与微分的概念及其计算2.解决方法为在几何意义的基础上理解函数导数的定义，熟记公式教学难点及突破方法1.教学难点是求复合函数的导数2.突破方法是让学生首先记住什么是基本初等函数，然后将复合函数拆成基本初等函数相关内容素材教学过程第一节函数的局部变化率--------导数文艺复兴的火炬驱散了欧洲中世纪的漫漫黑暗，15世纪之后的欧洲，资本主义逐渐，出现的大量实际问题，给数学提出了前所未有的亟待解决的新课题，其中三类问题导致了微分学的产生：（1）求变速运动的瞬时速度（2）求曲线上一点的切线（3）求极大值和极小值1.1抽象导数概念的两个现实原型原型I求变速直线运动的速度设一质点M从点O开始做变速直线运动，经过T秒到达P点，求该质点在00,tT时刻的瞬时速度.以O为原点，沿质点运动的方向建立数轴----s轴，用s表示质点的运动的路程，显然路程s是时间t的函数，记作(),0,sfttT，现求00,tT时刻的瞬时速度00()vvt.如果质点做匀速直线运动，那么按照公式=路程速度时间，便可以求出0v，但是现在要求质点做变速直线运动的速度，则在整个时间间隔0,T内不能应用上边的公式求0t时刻的速度0v，下面我们分三步来解决这一问题.(1)给0t一个增量t，时间从0t变到10ttt，质点M从点0M运动到点1M，路程有了增量1000sftftfttft(2)当t很小时，速度来不及有较大的变化，可以把质点在t间隔内的运动看似匀速运动，这实质上是把变速运动近似的转化为匀速运动，下面求t内的平均速度00fttftsvtt(3)当t越来越小，平均速度就越来越接近于0t时刻的瞬时速度0v，即教学过程第一节函数的局部变化率--------导数000000limlimlimtttfttftsvvtt原型II求曲线切线的斜率在初等数学中，我们知道曲线)(xfy上的两点000(,)Mxy和,Mxy的连线为曲线的割线，当点M沿着曲线无限的趋近于0M时，其极限位置就是曲线在点0M处的切线，如何求曲线在0M处的切线的斜率呢？我们分三步来解决：(1)求增量给0x一个增量x，自变量由0x变到xx0，曲线上纵坐标的相应增量为y=00()()fxxfx.(2)求增量比曲线)(xfy上的点从000(,)Mxy变到00,Mxxyy时，当x很小时，此时曲线上的纵坐标来不及有很大的变化，这时候割线的斜率近似的等于切线的斜率，此时割线0MM的斜率为xxfxxfxy)()(00(3)取极限当0Δx时，点00,Mxxyy沿着曲线无限的接近000(,)Mxy，割线0MM的斜率的极限就是切线的斜率，即0000()()tanlimlimxxfxxfxyxx,其中2，是切线与x轴正向之间的夹角.1.2导数概念定义设函数xfy在点0x的某邻域内有定义，当自变量x有一个增量x时，相应函数值的增量为y=00()()fxxfx，若极限000limxfxxfxx存在，则称函数f在点0x可导，并称该极限为函数f教学过程第一节函数的局部变化率--------导数在点0x处的导数，记为0xf，0xxy，0xxdxdy，0xxdxdf等.若上述极限不存在，则称f在点0x不可导.导数是函数增量y与自变量增量x之比xy的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率，而导数0xf=000limxxxfxfxx是函数在点0x处的变化速度，称为函数f在点0x处的瞬时变化率.导数的力学意义就是变速直线运动物体的瞬时速度导数的几何意义就是曲线的切线斜率例1求函数2()fxx在点2x处的导数解：给2x一个增量x，0(2)(2)(2)limxfxffx20(2)4limxxx20444limxxxx4如果函数f在区间(,)ab内每一点都可导，则称f为区间(,)ab上的可导函数。此时对每一个(,)xab，都有f的一个导数xf与之对应，记作xf，y，dxdy，dxdf等.即xxfxxfxfx0lim这就是说：函数xf在点0x的导数0xf是曲线xfy在点0x处的函数值教学过程第一节函数的局部变化率--导数例2求函数1yx在点1x处的导数解：0()()()limxfxxfxfxx011limxxxxx01limxxxx21x(1)1f例3求函数x的导数解：0()()()limxfxxfxfxx0limxxxxx0limxxxxxx12x综上面的例题，幂函数x的导数1xx例4求常数函数Cy的导数.解：(1)求增量：因为Cy，即不论x取什么值，y的值总等于C，所以0y；(2)算比值：xy0；(3)取极限：00limlim00xxxyy.即常数函数的导数等于零.例5求函数xysin的导数.解（1）求增量：xxxxfxxfysin)sin()()(，由和差化积公式有：2)(sin2)(cos2xxxxxxy教学过程第一节函数的局部变化率---导数（2）算比值：22sin)2cos(2sin)2cos(2xxxxxxxxxy.（3）取极限：22sin)2cos(limlimdd00xxxxxyxyxx00sin2limcos()limcos22xxxxxxx即(sin)cosxx，用类似的方法，可求得(cos)sinxx我们同样可以利用导数定义去证明对数函数exxaalog1log，特别地xx1ln1.5函数的可导性与连续性之间的关系定理2若函数xf在x处可导，则函数xf在x处连续.1.6高阶导数的概念函数xf的变化率是用它的导数()fx来表示的，而导数()fx也是x的函数，那么函数()fx的变化率也应该用它的导数()fx来表示，我们把它称为函数xf的二阶导数，记作xf，22dydx二阶导数的力学意义就是运动物体的加速度设函数xf存在1n阶导数，并且1n阶导数可导，那么11nnyfx的导数称为函数xf的n阶导数记为xfn,xyn,nndxyd教学过程第一节函数的局部变化率---导数例设yx，1,10yxy设sinyx，cosyx，sinyx课堂练习：78P3.（1）10.(3)总结：1、学习导数的基本定义及导数的几何意义2、掌握函数导数的求法作业：78P3.（2）教学过程第二节求导数的方法---法则和公式2.1求导法则1.函数的和、差、积、商的求导法则(1)设函数）（xuu与）（xvv在点x处可导,则函数uxvx（）（）也在点x处可导,且有以下法则:[]uxvxuxvx（）（）（）（）例1已知3sinln2yxx解：33sinln2sin(ln2)yxxxx23cosxx(2)设函数）（xuu与）（xvv在点x处可导,则函数）（）（xvxu也在点x处可导,且有以下法则:)()()()(])()([xvxuxvxuxvxu证明：令）（）（xvxuy,(1)求函数y的增量:给x以增量x,相应地函数）（xu,）（xv各有增量u与v,从而y有增量,][][vxuxxuvxvxxvxuxxvxuxxuxvxuxxvxxuy）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（(2)算比值:xuxuxxvxuxy）（）（,(3)取极限:由于）（xu与）（xv均在x处可导,所以）（），（xvxvxuxuxx00limlim.又,函数）（xv在x处可导,就必在x处连续,因此)()(lim0xvxxvx,从而根据和与乘积的极限运算法则有.limlimlimlim'0000）（）（）（）（）（）（xvxuxvxuxvxuxxvxuxyxxxx教学过程第二节求导数的方法---法则和公式这就是说，）（）（xvxuy也在x处可导且有）（）（）（）（）（）（xvxuxvxuxvxu][.特别的，当,()uCCvCv例2已知2ln2cosyxxxx解：22ln2cosln2cosyxxxxxxxx2112ln2(cos-sin)2xxxxxxxxcos2ln2sinxxxxxxx(3)设函数）（xuu与）（xvv在点x处可导,则函数））（（）（）（0xvxvxu也在点x处可导,且有以下法则:）（）（）（）（）（）（）（xxxuxxuxxu2)0)((xv特别的，当21,uvuvv例3已知xytan，求y解：2sinsincossincostancoscosxxxxxyxxx（）（）（）（）22222cossin1sec,coscosxxxxx即xx2sectan）（同理可得xx2csccot）（例4已知xysec,求y．教学过程第二节求导数的方法---法则和公式解：21cosseccoscosxyxxx（）（）=2sinsectancosxxxx同理可得xxxcotcsccsc）（2.复合函数的求导法则设函数)(xfy是由函数)(ufy和)(xu复合而成的函数，并且设函数)(xu在点x处可导，)(ufy在对应的点)(xu处可导，则有复合函数的求导法则：xuuyxydddddd也可表示为{[()]}()()fxfux复合函数的导数等于函数对于中间变量的导数乘以中间变量对于自变量的导数.例5求xysin的导数解：函数xysin可以看作由函数uysin与xu复合而成．因此xxxuxuy2cos21cos)()(sin例6lncos()yx，求y解：函数是由ln,cos,yuuvvx复合而成，则lncosyuvx11sin2vux11sincos2xxx例7lnyx，求y教学过程第二节求导数的方法---法则和公式解：ln,0lnln(),0xxyxxx当0x时，1yx；当0x时，函数是由ln,yuux复合而成11ln(1)yuxux3.用复合函数求导法则求隐函数的导数如果方程(,)0Fxy确定了y是x的函数，那么这样的函数叫做隐函数.例8方程2ln0xyy确定了y是x的函数，求y.解：方程左右对x求导，20yxyy21xyyy例9求圆224xy上一点0(2,2)M处的切线方程.解：将方程左右关于x求导，220xyyxyy，则1k，从而切线方程为22yx2.2基本初等函数的求导公式1.任意指数的幂函数()yx