大学物理C第12章

第12章气体动理论第12章气体动理论内容：1.物质的微观模型统计规律性2.理想气体的压强公式温度的微观本质3.气体分子速率分布率玻尔兹曼分布率4.能量均分定理理想气体的内能5.气体分子的平均自由程6.气体内的迁移现象重点：温度的微观本质、气体分子速率分布率、能量均分定理第12章气体动理论12.1物质的微观模型统计规律性1.物质的微观模型（1）宏观物体由大量微观粒子组成，分子间有空隙；（2）分子在不停地做无规则的运动，其剧烈程度与温度有关；（3）分子之间存在相互作用。第12章气体动理论2、统计规律——大量偶然事件整体所遵从的规律不能预测，多次重复（或大量出现）每个小球落入哪个槽是偶然的少量小球按狭槽分布有明显偶然性大量小球按狭槽分布呈现规律性演示实验：说明统计规律的伽尔顿板统计方法：从个别分子的力学规律入手，对大量分子求算术平均，建立微观量的统计平均值和宏观量的联系，从而揭示宏观量的本质。第12章气体动理论掷骰子每掷一次出现点数是偶然的掷少数次，点数分布有明显偶然性掷大量次数，每点出现次数约1/6，呈现规律抛硬币每抛一次出现正反面是偶然的抛少数次，正反面数分布有明显偶然性抛大量次数，正反面数约各1/2，呈现规律性第12章气体动理论共同特点：1.是群体规律：只能通过大量偶然事件总体显示出来，对少数事件不适用。2.量变—质变：整体特征占主导地位，个体特征退居次要地位。4.伴有涨落在任一给定瞬间或在系统中任一给定局部范围内，观测值都在统计平均值附近上下起伏变化。3.与宏观条件相关（如：伽尔顿板中钉的分布情况，注入孔位置等）第12章气体动理论12.2理想气体的压强公式温度的微观本质1.理想气体分子的微观模型1）分子视为质点；2）除碰撞瞬间外，分子之间、分子与器壁之间都没有相互作用力；3）分子间、分子与器壁间完全弹性碰撞。第12章气体动理论2.理想气体分子的统计假设1）容器中各处的分子数密度相同；2）分子向各个方向运动的几率相同；3）分子速度在各个方向上的分量的各种统计平均值相等。zyxvvv222231vvvvzyx第12章气体动理论(1)利用理想气体分子微观模型，考虑一个分子对器壁（yz平面dS）的一次碰撞而产生的冲量kvjvivviziyixi弹性碰撞：xzSdivivivivixivv2设分子质量为m，分子受器壁的冲量：ixmv2iximvI2一个分子一次碰撞对dS的冲量的大小：kvjvivviziyixi3.理想气体的压强公式第12章气体动理论(2)该速度区间所有分子在dt时间内给予器壁的总冲量iiivvvd设速度的分子数密度)(nniiin为该速度区间，在dt时间内，与器壁相撞的分子数为：StvnixiddxSdtvixdivztvidxyoSdivStvnmvixiixdd2该速度区间所有分子在dt时间内给予器壁dS的总冲量为：分子求和对所有0)3(xviiixviixiStnmvStnmvIixdd221dd2202第12章气体动理论（4）得理想气体压强公式iiiixiixinnvmnnmvtSIp22ddkxEnvmnvnmvmn32)21(3231222为分子平均平动动能式中221vmEk讨论：1）计入分子间相互碰撞，是否影响上述推导和结论？2）如果容器中不是同种分子，结果如何？第12章气体动理论4.温度的微观本质理想气体状态方程RTNNRTpVAkTnTNRVNpA玻尔兹曼常数kEnpnkTp32kTEk23与气体种类无关,TEkKJNRkA/1038.123第12章气体动理论•理想气体温度T是分子平均平动动能的量度，是分子热运动剧烈程度的标志•温度是大量分子热运动的集体表现，是统计性概念，对个别分子无温度可言热运动停止，意味着0,0.kET热力学认为绝对零开尔文只能无限逼近，不能达到。第12章气体动理论练习一容器被中间的隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K。另一半装有氧气，温度为310K。二者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。解：混合前后混合气体的内能不变''22oHeOHeEEEERTRTRTRT2523252321221112212221TTnnkTnkTn212124.1250310nnn混合前两种气体的压强相等有KT284第12章气体动理论12.3气体分子速率分布律玻尔兹曼分布律dvvfNdN)(0)(NdvdNvvdvv1、速率分布函数或分子速率刚好处于速率区间的概率],[dvvv:NdN分布在不同速率区间内的相对分子数是不相同的气体分子总数为，内分子数为N],[dvvvdN区间内的分子数与总分子数之比],[dvvv第12章气体动理论速率附近的单位速率区间内的分子数占总分子数的比值。v)(vf物理意义：归一化条件：1)(0dvvf速率分布函数NdvdNvf)(一个分子的速率正好处于附近单位速率间隔内的概率。v],[21vv内的分子数占总分子数的比率为dvvfNNvv21)(第12章气体动理论早在1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想气体分子在三个方向上作独立运动的假设导出了麦克斯韦速率分布，其表达式如下：其中T是气体的热力学温度，m是每个分子的质量，k为玻尔兹曼常量.2.麦克斯韦气体分子速率分布函数)2exp()2(4)(2223kTmvvkTmvf第12章气体动理论•（1）麦克斯韦分布适用于平衡态的气体。•（2）在平衡状态下气体分子密度n及气体温度都有确定数值，故其速率分布也是确定的，它仅是分子质量及气体温度的函数，其分布曲线随分子质量或温度的变化趋势示于图。同一温度下不同气体的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfoN2分子在不同温度下的速率分布KT30011pv2pvKT12002v)(vfo第12章气体动理论3、三种统计速率•最概然速率pv)()(maxpvfvf0)(pvvdvvdfmkTvp2MRT2其附近的分子占分子总数的比率最大第12章气体动理论NvdNv0dvvvfv0)(mkT8MRT8•平均速率v],[dvvv内的分子数dvvNfdN)(每个分子的速率都近似为v即第12章气体动理论2v方均根速率dvvfvv022)(mkT3MRTmkTv332kTvmEk23212三种速率之比：73.1:60.1:41.1::2vvvp第12章气体动理论dvvf)(：速率区间dv内的分子数dN占总分子数N的比值。dvvNf)(：速率区间dvdN内的分子数21)(vvdvvf：速率区间],[21vv内的分子数占总分子数的比值。21)(vvdvvNf],[21vv内的分子数。：速率区间P79思考题（12－5）:)(21vvdvvvf:)(21vvdvvNvf],[21vv速率区间内的分子的总速度除以总分子数。速率区间],[21vv内的分子速度总和。第12章气体动理论例12-4设N个粒子的速率分布函数图像如图所示，试求：（1）图中a的值；（2）速率小于30的分子数；（3）所有N个粒子的平均速率；（4）速率大于60的那些粒子的平均速率。f(v)a03060120v第12章气体动理论练习：设想有N个气体分子，其速率分布函数为00000vvvvvvAvvf)()(试求:(1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均根；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；(4)速率介于0~v0/3之间的气体分子的平均速率。第12章气体动理论4.玻尔兹曼分布律kTEpenn0空间中某处单位体积内的分子数0:0pEn处单位体积内的分子数粒子处于重力场中，kTmgzenn0第12章气体动理论12.4能量均分定理理想气体的内能1、自由度（完全确定分子位置的独立坐标数目）平动t转动r振动s总自由度i单原子分子33刚性双原子分子325非刚性双原子分子3216刚性多原子分子336第12章气体动理论2、能量均分定理kTvmEk23212222231vvvvzyxkTvmi21212各向同性能量均分定理能量均分定理：在温度为T的平衡态下，分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，即kT21第12章气体动理论3、理想气体的内能据能量均分定理可得：理想气体内能=所有单个分子的能量的总和kTiNENE20TNRiNAA2RTiE20每个分子的平均总能量＝平均动能＋平均势能kTskTsrtE2)(21kTsrtE)2(21温度不太高时，振动自由度为0。第12章气体动理论例标准状态下的22.4升氧气和11.2升氦气相混合。求：(1)氦原子的平均能量是多少?(2)氧分子的平均能量是多少?(3)氦气所具有的内能占系统总内能的百分比是多少?解：(1)氦原子的自由度为3，其平均能量为JkT212311065.52731038.12323(2)氧分子自由度为5,其平均能量为JkT212311042.92731038.12525第12章气体动理论(3)氦气和氧气的内能分别为RTRTE43234.222.111RTRTE25254.224.222氦气所具有的内能E1占系统总内能E的百分比为%1.23254343211EEE第12章气体动理论12.5气体分子的平均自由程第12章气体动理论分子设为有效直径为d的弹性球，做完全弹性碰撞。假设其他分子都静止不动，只有分子A以平均相对速率vu2运动。分子A运动过程中，只有中心与A的中心间距d的分子才有可能与A碰撞。Z平均碰撞频率中心在柱体内的分子数)2(2vdn第12章气体动理论Zvnd221nkTppdkT22在一定的宏观条件下，一个气体分子在连续两次碰撞间所可能经过的各段自由路程的平均值。平均自由程：第12章气体动理论12.6气体的迁移现象气体内的迁移现象（或输运过程）：由于气体分子不断地相互碰撞和相互掺和，导致气体内各部分的物理性质趋于均匀一致，而由非平衡态趋向平衡态。气体内的迁移现象有三种，即内摩擦现象（又称粘滞现象）、热传导现象和扩散现象。第12章气体动理论•粘滞现象由于气体内各气层间存在相对流动速度，使气体内部产生流动速度变化的现象。1v2vxyz气层间存在粘滞力作用，粘滞力成对出现，它使速度快的气层变慢，使速度慢的气层变快。第12章气体动理论vvvABxsx假设气体的温度和分子数密度不变。粘滞力sxvf：粘度（粘性系数），与气体的性质、状态有关11smkg单位微观本质：通过气体分子无规则热运动进行分子定向运动动量的迁移。第12章气体动理论•热传导现象由于温度差而产生的热量传递现象。Q1T2TxxsxTtQ：热导率，单位是13kskgm微观本质：分子热运动能量的定向迁移。第12章气体动理论•扩散现象产生原因：密度不同。N1n2nxxsxDtN微观本质：气体分子数密度的定向迁移。