大学物理上册.

第5章刚体力学基础5.1刚体的运动及描述刚体是特殊的质点系，其上各质元间的相对位置保持不变。——完全描述运动所需的独立坐标数•刚体（rigidbody）•自由度（或任意两点之间的距离始终保持不变）任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化的模型）。（确定物体的空间位置）如：(a)质点的直线运动，只需一个变数。自由度=1。(b)质点的一般运动，需三个坐标描述。自由度=3。(c)对刚体：只要确定其三个点，即可确定其位置。需9个变量。但三个点的间距确定，实际上只需6个变量。刚体最大自由度＝6。（确定物体的空间位置）——完全描述运动所需的独立坐标数•自由度平动时，刚体上所有点运动都相同。o·oo′·o′·一、刚体的运动形式在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在任意时刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动。1.平动（translation）可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。自由度：)(3cccmaxzyxi如：门窗、电机转子etc.转动2.转动（rotation）可分为两种基本形式：OvP×ωrr定轴刚体参考方向θz（本章重点讨论定轴转动）)1(i▲定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。▲定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该固定点的某一瞬时轴线转动.（如陀螺的运动等）i3（转轴方向（2），绕轴转角（1））刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的平面运动，又称为刚体的平面平行运动。3.平面平行运动可以分解为：刚体随质心的平动（2）和绕质心垂直于运动平面的定轴转动（1）312i如：车轮直线滚动4.一般运动刚体不受任何限制的的任意运动,称为刚体的一般运动。它可视为以下两种刚体的基本运动的叠加：oΔΔ·oo′·o′·▲绕通过基点O的瞬时轴的定点转动▲随基点O（可任选）的平动基点（O和O´）选取不同，平动不同，转动也可以不同，与基点的选取有关i33如图示的两种运动分解：tdd刚体绕oz轴，为了反映刚体绕瞬时轴的方向及转动快慢等，引入角速度矢量和角加速度矢量二、刚体转动的运动学描述tddOvP×ω,αrr定轴刚体参考方向θz定轴转动刚体上任意点都绕同一轴在各自的平面内作圆周运动。很显然：刚体各个部分在相同时间内绕转轴转过的角度（角位移）都相同。引入角量描述将非常方便。如：角坐标（）、角位移（）等。P点线速度P点线加速度OvP×ω,αrr定轴刚体参考方向θz定轴转动刚体上任意点的，都相同。rv2nrartvaddt当刚体作匀角加速转动时，有运动学关系：rv矢量形式ra2neratrat或：)()(0202221002tttEND一、外力矩及对转轴的分量设第个质元受外力，假定垂直于转轴。5.2刚体的定轴转动xyz对O点的力矩：在定轴转动中，不可能引起刚体运动。因此可以丢弃！相对于z轴的合外力矩为：即作用在各质元的外力矩的z分量之和.xyz只考虑z方向的分量：对参考点的力矩在z轴上的分量就等于力对z轴的垂足o’（转心）的力矩（简称力对转轴的力矩）iF垂直于z轴。viO×ω,αriRi定轴转动刚体zO’×二、定轴转动刚体的角动量式中称为刚体对转轴z的转动惯量(rotationalinertia)ith个质元对O点的角动量：刚体＝我们只对z方向的分量感兴趣：由于刚体只能绕z轴转动,引起转动的力矩只有，因此转动动力学方程定轴转动，可不写角标z，记作：与牛II比较：MFJma~~~\J反映刚体转动的惯性viO×ωriRi定轴转动刚体zO’×－刚体定轴转动定律三、刚体定轴转动定律称为在t0到t时间内作用在刚体上的冲量矩。四、刚体定轴转动的角动量定理——角动量守恒定律由转动定律在t0到t时间内：——角动量定理当合外力矩时，即：即：(ii)(i)角动量守恒情况分如下几种：.constJ(a)const.JL,J都不变，所以(b).constJL,J都变化，但是(c)刚体组角动量守恒！.constiiiiiJL如：花样滑冰、芭蕾舞、体操、跳水等运动中的动作。若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动.这时角动量可在刚体组内部传递。RETURNRETURN[例5-1]研究对象：A、B、圆柱mBmBgmAmAgA:B:附加方程解：mBmA圆柱：[例5-2]研究对象：A、B、C、圆柱。mCmCg解：mBmAmCmAmAgmBmBg设A、B运动距离S后，细绳伸展，求“碰撞”后C的速度。A:B:圆柱：利用质点动量定理和刚体角动量定理(设碰撞时间为t)：C:a为加速度（上题求得）附加方程A:B:圆柱：C:与“碰撞”时细绳内的张力相比，重力等产生的冲量（矩）可以忽略！考虑到约束条件后，上述方程可简化为：四个方程相加得：注意（1）上述讨论关键是对“碰撞”过程中，与冲击力相比可以忽略一些常规力！（2）上述结果在J＝0时，好象与A、B、C三个物体的动量守恒相似？但情况决不是如此！这是同学常常出现的错误。（3）如果忽略一些常规力，并考虑对转轴的角动量守恒，也可以得到相同结果！[例5-3]“打击中心”问题细杆：m,l，轴O，在竖直位置静止.若在某时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。解：如图示，除力F外，系统还受重力、轴的支反力等。但这两个力对轴的力矩＝0。l0O.C.A.只有F对细杆的运动有影响，对转轴O的力矩为：可通过转动定律求细杆的转动，再求质心加速度。利用质心运动定理求支反力。细杆遵从如下动力学方程：质心运动定律分量式：l0OC.A..质心运动定律分量式：讨论由于“冲击”过程中的冲击力在短时间内有相当大的数值，只要将很大！但时，为零！Fl0O.C.FxFyA.gm则：如图所示的冲击A点就称为“打击中心”。不同的刚体“打击中心”与刚体的形状及质量分布有关。在使用工具敲打东西时，要注意用打击中心击打，以免有较大的反作用力。讨论320/ll由于“冲击”过程中的冲击力在短时间内有相当大的数值，只要xF将很大！320/ll但时，xF为零！[例5-4]半径为R1和R2、转动惯量为J1和J2的两个圆柱体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为0，现将小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带着转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？11,RJ22,RJ0设垂直于纸面向里为正向：无相对滑动：分别对o1轴和o2轴运用角动量定理。解：o1o2END一、刚体的转动惯量及计算定义式：1、刚体为分立结构2、刚体为连续体单位：很明显：J与质量及其分布有关，与转轴的位置有关。5.3转动惯量的计算式中ri为“质量元”mi到转轴的距离。式中几个常用J的计算举例：（1）均匀圆环：（2）均匀圆盘：RmCCRmC（3）均匀杆：oxdxdm如果将轴移到棒的一端二、平行轴定理刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平行转轴的转动惯量Jc加上刚体质量m乘以两平行转轴间距离d的平方.cdo平行轴定理应用举例：挂钟摆锤的转动惯量o三、对薄平板刚体的垂直轴定理Jmrzii2mxmyiiii22例：已知圆盘JmRz122求对圆盘的一条直径的Jx（或Jy）由JJJJJzyxxyJJmRxy\142即JzJJyxyxz圆盘RCmyrixzyiximiΔO[例5-5]一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在O点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时的角速度和角加速度。解：(1)方向：cOBAcOBA(2)[例5-6]一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度为0，绕中心o旋转，问经过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为）drr解：Ro为其转过的角度。END一、刚体定轴转动的动能可分解为刚体携总质量(质心)绕定轴作圆周运动的动能和绕质心转动的动能。5.4定轴转动中的功能关系利用平行轴定理：二、力矩作功外力——F角位移——dθ力F位移的大小——ds=rdθ作功为——sin2cosFrdFrdFdsdWMddW0MdW说明：力矩作功的实质仍然是力作功。对于刚体转动的情况，用力矩的角位移来表示。三、刚体定轴转动的动能定理利用转动定律：－刚体定轴转动的动能定理四、刚体的重力势能刚体和地球系统的重力势能：gmicrOirz以地面为零势能点，对质元mi五、刚体定轴转动的功能原理与机械能守恒若把重力作功用势能差表示：式中M为除重力以外的其它外力矩。若M=0,——刚体的机械能守恒定律由动能定理[例5-7]如图示已知：M=2m，h，=60°求：碰撞后瞬间盘的0？P转到x轴时盘的=?解：m下落：mghmv122vgh2(1)（水平）m(黏土块)yxhPθOM光滑轴均质圆盘RmPhv（水平）m(黏土块)yxhPθOM光滑轴均质圆盘R碰撞t极小，对m+盘系统，冲击力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：mvRJocos(2)JMRmRmR122222(3)由(1)(2)(3)得：oghR22cos(4)对m+M+地球系统，只有重力做功，E守恒.则：P、x重合时EP=0。令1mgRJJosin12222(5)由(3)(4)(5)得：ghRgR222cossinghRgR222cossin12243RghR.()()60o由(3)(4)(5)得：ghRgR222cossin（水平）m(黏土块)yxhPθOM光滑轴均质圆盘R人与转台组成的系统对竖直轴的角动量守恒：[例5-8]水平转台(m1、R)可绕竖直的中心轴转动，初角速度0，一人(m2)立在台中心，相对转台以恒定速度u沿半径向边缘走去，计算经时间t，台转过了多少角度。解：台转过的角度：[例5-9]均质细棒m,l,水平轴O,开始棒处于水平壮态，由静止释放，求，（1）水平位置放手时，棒的质心加速度;（2）摆到竖直位置时，棒的角速度;（3）摆到竖直位置时，轴的支反力。解:（1）.O因轴的支反力未知，不可能通过质心运动定律求棒的质心加速度。支反力对转轴O的力矩为零，则可通过转动定律求棒的转动，再求质心加速度。质心加速度：（2）依机械能守恒，选O点为势能零点：（3）竖直位置时：竖直位置时棒的机械能水平位置应用质心运动定律：.O[例5-10]质点与直竿碰撞细杆：M,L，轴O，在竖直位置静止.m与棒发生弹性碰撞（如图所示）。m碰后失速下落。求碰后：棒的最大偏转角？maO.解：利用角动量守恒：系统受重力、轴的支反力等。但这些力对轴的力矩＝0。碰前：碰后：m细杆在碰后的运动中，m的运动不考虑，只讨论细杆的转动。由动能定理：重力作功等于细杆动能增加maO.C.C.[例5-11]摩擦离合器飞轮1：J1、1摩擦轮2：J2静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。两轮对共同转轴的角动量守恒解：试与下例的齿轮啮合过程比较。21[例5-12]两圆盘形齿轮半径r1、r2，对通过盘心垂直于盘面转轴的转动惯量为J1、J2，开始1轮以0转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理：得：解：12[例5-13]均质细棒：m1、l，水平轴O，小球：m2与棒相碰，碰前碰后如图，设碰撞时间很短，棒保持竖直，求碰后棒的角速度。系统对O轴角动量守恒注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处的外力不能忽略。只当碰撞在打击中心时，Nx=0，系统的水平动量守恒：解：O[例5-14]圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以ω0转动，小滑块m由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑块速度、圆锥体角速度。解：系统机械能守恒：hRu对竖直轴的角动量守恒：END