大学物理实验BI资料

1第一章测量、误差与数据处理第1节测量和有效数字1.1.1测量与物理实验的关系物理实验由物理现象的再现、物理量的测量与数据处理三部分组成。测量是物理实验的核心，也是实验课的中心内容。测量是指用一定的工具或仪器，通过一定的方法，直接或间接地与被测量所进行的比较。由于测量对任何实验都很重要，所以发展成独立的一门学科——测量学。测量所用的原理绝大多数是物理原理，所用方法是物理方法，测量的对象是物理量。但测量学不是实验物理学，两者区别是：测量学最终目的是获得物理量的精确值，物理实验的最终目的是探索自然界物质的属性及运动规律。两者的关系是，测量不能代替物理实验，而物理实验必包含测量。1.1.2测量的分类伽利略有句名言：“凡是可能测量的，都要进行测量，并且要把目前无法度量的东西，变成可以测量的。”开尔文将测量概括为一门科学中最本质的部分。“假如你能量度你所研究的事物，并能用数来表示它，你对它就有些了解了。假如你不能量度、不能用数来表示它，即么这种了解是贫乏，且不能令人满意的。也许仅仅是知识的入门，但这种知识至少没有提高到科学的程度。”从基本粒子的微观世界，到庞大星系的广阔空间；从粒子碰撞、蜕变的瞬间，到宇宙演变的漫长过程，都属于测量的范围。物理实验的测量可分为直接测量、间接测量，组合测量三类。(1)直接测量指可用仪器、仪表直接得到被测量数值的测量，如米尺测长度，秒表计时间，电表测电流、电压等。(2)间接测量指利用直接测出的数值x，通过一定函数关系运算，才能得出测量结果y，即y=f(x)。如立方体体积v，是通过对长x，宽y，高z的测量由v=xyz得到；折射率n是通过对折射角θ测定，由折射定律求得。(3)组合测量为找出两个量x，y之间在某一区间的函数关系，而在该区间对这两个量进行的逐点测量。如某元件的伏安特性，是通过在一定范围内，对在不同电压V下所产生的电流I的测定(V1,I1)、(V2,I2)、……而得出的。测量从方法上讲，常见的有六种：①比较法。是将被测量与相关标准量进行直接或间接比较，得到测量值的方法，如米尺、角规、天平、电表等都是根据比较法设计而成的仪器。②放大法。在测量中，由于被测量很小，无法被观察者察觉，可通过某种方法将被测量放大后，再进行测量，或用累加测量法减小误差。如用光杠杆可以将微米级伸长量放大，而在毫米尺上得到充分的反映。用螺旋测微计测长度，采用的是用螺旋放大微小间距的原理，示波器、望远镜……都是由某种放大原理制成的仪器。2③补偿法。在测量中，若被测量精度要求很高，可用在标准量具上产生的精度很高的某种效应，完全补偿(或抵消)由待测量产生的同种效应，从而得到未知量。如电位差计，经校准后，可形成一定范围内可调的高精度电压E0，去补偿处在该范围的未知电压Ex，当检流计G指针不偏转时，E0=Ex，如图1.1-1所示。④转换法。很多物理量不便或无法直接测量时，可转化为对该量所产生的某种效应进行测量。如玻璃温度计是根据温度对液体的热胀冷缩效应，将温度量转化为长度量进行测量的。其中应用最多的是将非电量转化为电量进行测量的电测法(如热电偶测温度，超声干涉测声速等)以及将非光学量转化为光学量测量的光测法(如干涉仪测长度，折射法测浓度等)。⑤模拟法。有些不易测量的量，还可根据相同的物理或数学模型，有相似结果的特点，用对模型的测量代替对原型的测量。如静电场与稳恒电流场有相同的数学模型，所以可用对稳恒电流场等位线的测量，模拟静电场等位线的测量。⑥干涉测量法。由于光波长很小，我们可利用干涉条纹的分布与变化，使长度、角度、光洁度等量的测量精度大大提高。干涉计量技术是现代精密计量的重要组成部分。从测量条件上讲，测量可分为等精度测量和不等精度测量。等精度测量是指在测量过程中，影响测量诸因素均相同的测量。在测量条件相同的情况下进行的一系列测量，如由同一个人在同一台仪器上，用同样测量方法，在同一环境下对被测对象进行的一系列测量。每次测量的可靠程度都一样，可看成是等精度测量。不等精度测量是指在所进行的一系列测量中，由于所用测量仪器、测量方法、测量环境、次数、测量人员完全不同或部分不同，使各测量结果的可靠程度不同，这样一组测量称为不等精度测量。等精度测量数据处理比较容易，所以绝大多数实验都采用等精度测量。不等精度测量在此不做介绍。1.1.3有效数字实验中得到并处理的数字，应能反映出被测量的实际大小。即：记录、运算后保留的数字，应是能传递出被测量实际大小的全部信息的数字，这样的数字称为有效数字。定义为：一个数字是有效数字，则该数据是左起第一位非零数位起，到第一位欠准数位止的全部数字。(1)有效数字测量过程所得到的数字，可分为准确数字和近似数字两种。准确数字如确切的人数、个数、次数及公式中的常数，这些数字的准确性是不容置疑的。用量具或仪器测得的数由两部分构成，一部分按仪器的刻度读出，可以读到它的最小刻度，这部分以刻度为依据，应视为准确的，称为可靠数字。而最小刻度值以下的那一位，没有刻度为依据，是估读的，不够准确，称为欠准数位，两部分之和构成了测量得到的有效数字。即有效数字=可靠数字+欠准数位图1.1-13如用毫米刻度尺测某一物体长度x，从尺上可准确读到31.6cm，由于真实长度在31.6～31.7cm之间，为使测量值更接近于真实值，在mm以下我们可估计为0.06cm(尽管真实位置也可能在0.05cm或0.07cm处)，则31.66cm为对x测量中得到的有效数字，它是四位有效数字，由三位可靠数字31.6cm，和一位欠准数位0.06cm构成，如图1.1-2所示。如用直流毫安表测电流，最小刻度为1mA时可估计到0.1mA。如13.2mA，“13”是可靠的，“0.2”是估计的，两者之和构成三位有效数字。(暂不介绍电表等级对读数的影响)可见，在读仪表示值时，一般都要读到最小刻度的下一位。如果指针正好指在整数处，应加0到最小刻度的下一位。如图1.1-3所示，此时电压值应记为2.00V，而不能写成2.0V，因为真实值有很大可能在1.99～2.01之间，而不是粗略地在1.9～2.1之间。当然，若写成2.000V也是错的，因为用这种仪表，没有根据能读到0.001V。在最小刻度为5个单位时(如量程为5V的直流电压表，有100个刻度，每个最小刻度为0.05V)；由于5本身有进或舍的功能，若将最小刻度分10等分进行估计，由于进舍的原因，其结果精确不到0.001V这一位，所以应将最小刻度分5等份，估读到0.01V。因此，欠准数字在最小刻度的下一位或最小刻度所在位。(2)关于有效数字的几点说明：①有效数字位数与小数点的位置无关。如0.00123、0.123、12.3等都是三位有效数字，这只是选取不同单位造成的。②“0”在有效数字中的地位。左起第一位非零数字前面的0不是有效数字，该数右边的数字、包括数字中间及末尾的0是有效数字。③有效数字的科学表示法。测量数字特大或特小时，可用10的幂指数形式表示。指数前的系数由1位整数，其余为小数构成，它的位数表明了有效数字的位数，指数部分不是有效数字。如250kΩ若用为Ω单位，只能写成2.50×105Ω，而不能写成250000Ω。因为前者是三位有效数字，后者则是六位有效数字。1.1.4有效数宇的运算规则总的原则是：准确数字与准确数字(含常数)之间的运算，得准确数字；准确数字与欠准数字，欠准数字与欠准数字之间的运算，得欠准数字。结果只含1位欠准数字。①欠准数字的进、舍规则为了使有效数字只含有一位欠准数字，往往要对诸位欠准数字进行进舍。规则是：“四舍、六入、五凑偶(即五左边这位数为奇数则进，为偶数则舍)”。②加减运算加减运算的和、差，其最后一位数与参予运算各数中末位数最高的位对齐。如20.33+5.221+101.3=126.8③乘除运算乘除运算的积、商的有效数字位数，一般与运算各数中位数最少者相同。(特殊情况可多保留1位，或少保留1位。在此对同学不作要求，如有兴趣，可自行验证)如：2.355×13.3=31.3(与位数最少者相同)图1.1-2图1.1-343.357×53.3=178.9(比位数最少者多一位)1.01÷1.211=0.83(比位数最少者少一位)④幂运算幂运算结果的有效数字位数，与底数的有效数字位数相同。如3.563=45.13563=451×107⑤对数运算、三角函数运算对数运算时，对数的尾数的有效数字位数与真数的有效数字位数相同，对数的首数对应于乘方，不应计入有效数字位数。如:log1.9970.3004log19973.300433log1997log1.99710log1.997log1030.3004三角函数运算不改变有效数字的位数。如sin52130.7903证明：∵sincosdyyxyxxxdx∴1cos521310.61270.000260180y所以因为分位为欠准数，使函数值在小数点后第四位成为欠准数所在位，则sin5213等于0.7903，而不是0.790或0.79033等。⑥约简约简的目的在于简化一些不必要的计算，约简遵从“四舍六入五凑偶”的原则。如将下列各量保留两位有效数字。1.451=1.5(5后面有数时要进位)．1.45=1.4(5后面没数，又不能凑偶时舍去)0.355=0.36(能凑偶时进到上一位)加减运算前，先将各量约简到其中欠准位数是最高者的下一位，如：11.1+1.0025+0.3376=11.1+1.00+0.34=12.4乘除运算前，将各量约简到比有效数字位数最少者多一位。如：2.02×0.3376×1.1=2.02×0.338×1.1=0.75第2节测量的不确定度1.2.1误差理论一、误差的基本概念1.真值。一个物理量是标准量(单位)的多少倍，是一个客观存在，它不随测量而变化，称之为该物理量的真值，用μ表示。52.近似值(测量值)。实验测量中由于各种原因，使之无法测得其真实值，只能得到对真实值的近似描述，用x表示。3.误差。真值与近似值之差称之为误差，是一个可正、可负，可近似为零的数，一般是无法计算的。它反映了所得到的被测量与真实值之间的偏离程度。用E来表示。Ex(绝对误差)(1.2-1)100%rxE(相对误差)(1.2-2)二、误差的种类1.系统误差：是指由于仪器不完善、测量理论及方法的近似等引起的，具有一定规律的误差。这类误差单纯增加测量次数不能减小，只能通过仪器的改进、理论及方法上的修正措施来减小。2.偶然误差：是指由于仪器精度限制，人的感官制约、环境(温度、湿度、光照、杂散电磁场等)变化，使测量结果中出现的可大可小，可正可负具有随机性的误差，这类误差是客观存在，无法避免的，多次测量可减小这类随机的干扰。3.过失误差：是指操作不当，或读数错误造成的误差。含有这类误差的测量值一般明显偏离正常值，称之为坏值，可按一定标准剔除。由于过失误差属于可避免误差，不计入所讨论的误差范围之列，故实验中所说的误差是由偶然误差和系统误差两部分构成。我们通常用精度反映测量结果中误差大小的程度。误差小的精度高，误差大的精度低。但这里精度却是个笼统的概念，它并不明确表明描写的是哪一类误差。为了使精度具体化，精度又可分为：（测量）精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。即是指在规定条件下对被测量进行多次测量时，所得结果之间符合的程度。简称为精度。（测量）正确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。它反映了在规定条件下，测量结果中所有系统误差的综合。（测量）准确度：表示测量结果与被测量的“真值”之间的一致程度。它反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合。准确度又称精确度。以打靶为例子来比较说明。如图1.2-1，靶心为射击目标。图1.2-1三、偶然误差的数学描述及统计意义偶然误差一般可认为是由大量的微小的干扰产生，使测量值与真值之间的差别(大小及正负)随机性的变化。这类误差的数学描述，是通过多次测量，在统计意义上得出的。例如对某一长度L测量了64次，其数据列表如下：L(长度值)1.011.021.031.041.051.061.071.081.