大学物理第04章_功和能

第4章功和能主要内容：功动能定理势能引力势能由势能求保守力机械能守恒定律守恒定律的意义碰撞两体问题流体的稳定流动4.1功功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间积累作用。功的定义：在力的作用下，物体发生了位移，则把力在位移方向的分力与位移的乘积称为功。FrrxyzO1rrFFcosWFrFr国际单位：焦耳（J）N·mabFrd质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力所作的功。F元功：rFWddbabarFrFWdcosd合力的功：baWFrdbanbabarFrFrFddd21n21结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数和。12bnaFFFrd在直角坐标系Oxyz中kFjFiFFzyxkzjyixrbaWFdrdddxyzxyzbbbxyzaaaFxFyFzdrdxidyjdzkdddbxyzaFiFjFkxiyjzk在自然坐标系中nnFFeFedrdsebaWFdr10ssFdsbnnaFeFedse功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：单位时间内所作的功。平均功率：tWP瞬时功率：tWtWPtddlim0瓦特（W）=（J/s）WPtdd附:功率的定义：FvFrtdd例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F=6tN。如果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作了多少功？解：ttmFa326taddvtttad3ddv两边积分：ttt00d3dvv223tvtxddvtttxd23dd2v20420249d236dttttxFWJ36Fma例2：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦系数m，在外力作用下小物体（质量m）以速率v做匀速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。r小物体对环带压力rvmf2走一段小位移ds所做的功2vdWmdsrm转一周22202rvWdWmdsmvrmm解：若桌面与小物体的摩擦系数也为µ则转一周摩擦力做的功?若是均匀的直杆呢?若是均匀的圆盘呢?4.2动能定理动能：质点因有速度而具有的作功本领。221vmEk单位：（J）设质点m在力的作用下沿曲线从a点移动到b点元功：WFrddrdFab1．质点动能定理cosFsd总功：)(21dd212221vvvvvvmmWW质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。1221222121kkEEmmWvvcosWFsddcosFmamtddvmdvvmstdddv注意事项：1、功虽然可以改变物体的动能，但功与动能还是有区别的，功是过程量，动能是状态量。2、动能定理适用于惯性系，功与动能的关系成立是参考与同一个惯性系而言。2．质点系的动能定理iiFif一个由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。质点的动能定理：iiEE1k2k内外iiWW对系统内所有质点求和niiniiEE11k12kniniiiWW11外内12kkEE外内WW质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力作功之代数和。质点系的动能定理：内力做功可以改变系统的总动能。值得注意：例3如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？1S2SxO解设铁锤敲打钉子前的速度为v0，敲打后两者的共同速度为v。vv)(0mMMmMM0vv铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻力大小为：kxf由动能定理，有：2102021d2101kSxkxmSv0vv,mMSSSxkxm11d21020v设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为ΔS，则有212121)(21kSSSk21212)(SSS112SSS化简后第二次能敲入的深度为：cm41.0cm1)12(211SSS例4、矿砂由料槽均匀落在水平传送带上,砂流量q=50kg/s,传送带匀速移动v=1.5m/s,求电动机拖动皮带的功率,看是否等于单位时间内砂获取的动能?解：pfvftmv2113pqvW砂受到f作用,同样皮带也受到反作用力,其大小等于f,方向相反!212KEmvmfvqvt56.5KEWPt例5、如图传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软匀质物体以初速度v0向右送上水平台面,物体前端在台面上滑动s后停下,已知滑道上的摩擦可以不计,物体与台面的摩擦系数为µ,而且sL,试求物体的初速度v0。解：(0)mfgxxLLm设物体在台面上滑动时，在其上的长度为x，则所受摩擦力可表示为：v0xLsL()fmgLxm当物体前端在s处停下来时，台面对物体的摩擦力所做的功：0sfWfdxfdx由动能定理：0()()LsLmgxdxmgdxLmm()()22LLmgsLmgsmm20102fWmv02()2Lvgsm一对力的功系统内力总是成对出现1211222212()ffWfrfrfrrfr相对一对力所做的功，等于其中一个物体所受的力沿两个物体相对移动的路径所做的功。OA1A2B1B2r1r2r21f1f2r1r2RMm内力与相对位移总垂直，故内力所做的功总和为零。4.3势能（1）重力的功bzazxyzOabrgm),,(aaazyxa初始位置),,(bbbzyxb末了位置baabrFWdkzjyixkmgbadddbabazzmgzmgd重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。（2）万有引力作功设质量为M的质点固定，另一质量为m的质点在M的引力场中从a点运动到b点。rerMmGF20barrrrerMmGWd20cosrerrddrrdrrdcrdMabarbrrdbarrrrMmGrrMmGWba11d020万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。（3）弹性力的功x2box1mxamFx由虎克定律：ikxF2121dddxxxxxkxixikxxFW22212121kxkxW弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与弹性变形的过程无关。保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关的力。保守力的特点：保守力沿任何闭合路径作功等于零。0drF证明：设保守力沿闭合路径acbda作功abcd按保守力的特点：因为：所以：证毕adbacbWWbdaacbWW0acbacbbdaacb保守力的功与势能的关系：物体在保守力场中a、b两点的势能Epa与Epb之差，等于质点由a点移动到b点过程中保守力所做的功Wab。abbapbpaWrFEEd保守力做功在数值上等于系统势能的减少。ppapbabEEEW)(势能由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能（Ep）说明：（1）势能是一个系统的属性。势能的大小只有相对的意义，相对于势能的零点而言。（2）（3）势能的零点可以任意选取。设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点r的势能为：orropprFrErErEd)()()(结论：空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。重力势能：mghEp（地面（h=0）为势能零点）弹性势能：221kxEp（弹簧自由端为势能零点）引力势能：rMmGEp0（无限远处为势能零点）4.4引力势能barrrrMmGrrMmGWba11d020令r→∞时，Ep=0，则12pmmEGr例6.假设地球为质量均匀分布的球体,计算必须供给多少能量才能把地球完全拆散(万有引力常数为G,地球质量me,半径为R).解：pmdmdEGr地壳Rrdr将地球拆分成厚度为dr的球壳,该球壳与内球构成的系统势能为：343mr地24dmrdr壳334emR320443RpprrdrEdEGr()235eGmR保守力与势能的积分关系：pEW保守力与势能的微分关系：pEWdd因为：zFyFxFrFWzyxddddddppppEEEExyzxyzddd4.5由势能求保守力所以：xEFpxyEFpyzEFpzkzEjyEixEFppp保守力的矢量式：保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向指向势能降低的方向。结论：例7.某双原子分子的原子间相互作用势能函数如下所述,其中A,B为常量,x为两原子的间距,试求原子间相互作用力的函数式及相互作用力为零时的距离.解：()126pxABExx()pxxdEFdx137126ABxx13726()ABxx16137220()xABAFxxxB将X换成r,情况又是什么样?4.6机械能守恒定律21ppWEE保内12kkEE外内WW质点系的动能定理：非保内保内内其中12kkEE非保内保内外2211WWEEEEkpkp外非保内pkEEE机械能12EEWW非保内外质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力所作功的代数和。质点系的功能原理0外W如果0非保内W，pkEEE恒量当系统只受保守内力作功时，质点系的总机械能保持不变。机械能守恒定律注意：（1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性系。这是因为惯性力可能作功。（2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。例8.计算第一，第二宇宙速度1.第一宇宙速度已知：地球半径为R，质量为M，卫星质量为m。要使卫星在距地面h高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。解：设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：hRMmGmRMmGm2212121vvRMm由万有引力定律和牛顿定律：hRmhRMmG22v解方程组，得：hRGMRGM21v2RmMGmggRRGM代入上式，得：)2(1hRRgRvRh131109.7smgRv2.第二宇宙速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少等于零。由机械能守恒定律：02122pkEERMmGmv解得：1312sm102.11222vvgRRGM（2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。例9、如图在水平面上有一轻质弹簧，一端固定，另一端系一质量为m的小球。弹簧劲度系数为k，最初静止于其自然长度l0。现有一质量为m1的子弹，沿水平方向垂直于弹簧轴线以速度为v0射中小球而不复出，求此后当弹簧长度为l时，小球速度v的大小和它的方向与弹簧轴线一夹角?解：101()xmvmmvL0v0vθl子弹射入小球瞬间,子弹与小球组成的系统只受内作用,故动量守恒!运动过程中,子弹,小球,弹簧组成的系统机械能守恒!O222110111()0()()222xmmv