大学物理课程第3章功和能.

教材:自编教材《大学物理Ⅰ讲义》2013年春季学期开始制作:红河学院理学院ZhuQiaoZhong第3章功和能Manufacture:ZhuQiaoZhong2第3章功和能（1）恒力的功一.功§3.1功和功率FrF恒力沿直线做的功：ΔcosrFAΔrF单位：焦耳（J）1J=1Nm功的其它单位：1eV=1.6×10-19J力的空间累积效应Manufacture:ZhuQiaoZhong3第3章功和能（2）变力的功在极微小的时间dt内，可以将变力视为恒力，此间的位移为dr，则F所作的功也很微小，称为元功dA。微元法！化曲为直化变为恒PQ变力●Fm元位移rd元路程dsrdFdArdθFcosθdrFcos变力的总功：rdFAQPrrQPrrθdrFcos1.功是过程量，与路径有关。2.功是标量，但有正负。★注意：Manufacture:ZhuQiaoZhong4第3章功和能（3）合力的功物体同时受的作用，则,,,,iFFF21iiirrirriirrArdFrdFrdFAQPQPQP★结论：合力对物体所作的功等于各分力所作功的代数和。在直角坐标系中，作用于物体的合力和位移为kdzjdyidxrdkFjFiFFzyx则合力作功为：zyxQPzQPyQPxQPAAAdzFdyFdxFrdFA★结论：在直角坐标系中，合力所作的功等于其直角分量作功的代数和。Manufacture:ZhuQiaoZhong5第3章功和能讨论：功的正负QPdAAQPθdsFcosPQ元路程ds元位移rd变力●Fm，表示力对物体不作功＝时，，表示力对物体作负功时，，表示力对物体作正功时，020202AAAManufacture:ZhuQiaoZhong6第3章功和能功率的单位：瓦特（W）1W=1J/s二功率dtdAtAP：tAP：t0lim瞬时功率平均功率cosFvvFdtrdFPrdFdA英制：hp(马力)1hp=735.5WManufacture:ZhuQiaoZhong7第3章功和能例3.1、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？解：取地心为原点，引力与矢径方向相反mhoRrdrGMmrdFARhRRhRr)ˆ(2)(hRRGMmhdrGMmRhRr2Manufacture:ZhuQiaoZhong8第3章功和能解：（一维运动可以用标量）例3.2、质量为2kg的质点在力的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。vdttdtvFrdFA12＝2000032120tdttdtmFadtvvtttJtdttdtttA7299363124303302itF12＝Manufacture:ZhuQiaoZhong9第3章功和能例3.3如图示，长为R的细绳固定于点O，末端系一为质量为m的小球。用水平推力将小球缓慢地从竖直位置移到细绳与竖起方向成α角的位置。在不考虑空气阻力的情形下，求推力所作的功。解：以小球自然下垂时的位置为坐标原点建立坐标系。对小球作受力分析。dyxOFmgT小球受力作用“缓慢运动”，意味着可视为处于受力平衡状态。x方向：y方向：故有:FθTsinmgθTcosθmgFtanθRdθFθdsFldFdAcoscos)cos(cosαmgRθRdθFdAAα10Manufacture:ZhuQiaoZhong10第3章功和能1、质点的动能定理§3.2动能和动能定理1vPQθ2vrdFFτ：切向分力dsFrdFrdθFrdFAcos考虑到dtdvmF得dvmvAvv2121222121mvmvA221mvEdefkkPkQEEA动能质点的动能定理：合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。Manufacture:ZhuQiaoZhong11第3章功和能（1）功是过程量，动能是状态量。讨论（2）功是质点动能改变的量度。（3）动能定理有助于对功的理解：A0，表示合外力对质点作正功，质点动能增加；A0，表示合外力对质点作负功，质点动能减少（或：质点减少自身的动能反抗合外力对外作功）。Manufacture:ZhuQiaoZhong12第3章功和能例3.4以200N的水平推力推一个原来静止的小车，使它沿水平路面行驶了5.0m，若小车的质量为100kg，小车运动时的摩擦系数为0.10，试用牛顿运动定律和动能定理两种方法求小车的末速。解法一：解法二：2/02.1smmmgFamgfmafF2/2.32smasv22/2.3)(2021)(smmsmgFvmgfmvsfF动能定理仅适用于惯性系，为变力作功的计算提供便利。Manufacture:ZhuQiaoZhong13第3章功和能例3.5小球以初速率vA沿光滑曲面向下滚动,如图所示。问当小球滚到距出发点A的垂直距离为h的B处时,速率为多大?解：建立如图所示的坐标系，小球在滚动过程中受到mg和N两个力的作用。合力为：根据动能定理有：NgmF222121ABBAmvmvrFd222121ABBABAmvmvrdNrdgm即NyOxBAmgh因N始终垂直于dr，故0BArdN于是222121ABBAmvmvrmgd所以mghmgdymgdyrdgmhBABA0解得末速率为ghvvAB22Manufacture:ZhuQiaoZhong14第3章功和能质点：m1m2(以两个质点为例)外力：2、质点系的动能定理21FF内力：21ff初速：PPvv21末速：QQvv21211211111112121:1111PQQPQPvmvmrdfrdFm211211111112121:1111PQQPQPvmvmrdfrdFm两式相加得：2211221122112211QPQPQPQPrdfrdfrdFrdF＋）＋（＋22221122221121212121PPQQvmvmvmvmManufacture:ZhuQiaoZhong15第3章功和能即：外力的功之和＋内力的功之和＝系统末动能－系统初动能kPkQEEAA内外质点系动能定理：所有外力对质点系做的功和内力对质点系作的功之和等于质点系总动能的增量。注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。说明：1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的动能。2、EK为动能的增量，增量可正可负，视功的正负而变。3、动能是质点因运动而具有的做功本领。Manufacture:ZhuQiaoZhong16第3章功和能Manufacture:ZhuQiaoZhong17第3章功和能§3.3势能一.引力势能和重力势能1.万有引力的功:0xyPQLdrdlFCθrˆldFdAArrdrrMmGrrldrrMmGAQPQP22ˆ)PQrMmGrMmG定义引力势能rMmGEdefP则:)(PPPQEEA万有引力的功等于引力势能的负增量。与路径无关有心力？零势能面的选择？0P处，ErManufacture:ZhuQiaoZhong18第3章功和能2.重力的功在地球表面附近有QQPPQPhRr;hRr;Rrr2重力的功:)()()()(PQPQPQPQPQhhmgRhhMmGrrrrMmGrMmGrMmGA2定义重力势能mghEdefP则:)(PPPQEEA重力的功等于重力势能的负增量。与路径无关零势能面的选择？Manufacture:ZhuQiaoZhong19第3章功和能二.弹力的功222121QPxxxxkxkxkxdxrdFAbaba定义弹性势能221kxEdefP则:)(PPPQEEA弹力的功等于弹性势能的负增量。与路径无关零势能面的选择？Manufacture:ZhuQiaoZhong20第3章功和能三.保守力与非保守力一、保守力：作功与路径无关的力。万有引力、重力、弹性力、静电场力…:保守力作功与路径无关，仅取决于始末位置。保守力有对应的势能。保守力作功的特性：沿任意闭合路径绕行一周所作的功恒为0。即:0LldF二、非保守力（耗散力）：作功不仅与物体的始末位置有关，还与物体所经历的路径有关的力。例如：摩擦力、磁场力…Manufacture:ZhuQiaoZhong21第3章功和能零势能点的一般取法引力势能以无穷远处为零势能点(r=∞，EP=0，恒负)重力势能以地面为零势能点（h=0，EP=0，可正可负）弹性势能以弹簧原长末端为零势能点(x=0，Ep=0，恒正)mghEprMmGEp保守力的功=势能增量的负值势能具有相对意义，所以在具体问题中必须规定零势能点。221kxEpManufacture:ZhuQiaoZhong22第3章功和能势能函数与保守力的关系:drdFEP*四.势能曲线只有保守场引入势能才有意义；势能是属于相关系统的态函数。势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关。曲线斜率Manufacture:ZhuQiaoZhong23第3章功和能一.质点系的功能原理§3.4机械能守恒定律对于有n个质点的质点系,它们所受外力为，所受内力为。在这些力的作用下，系统从初状态P变到末状态Q。ijfiF123nFnF1F3F2f31f21fn1f12fn2f32fn3f23f13f3nf1nf2n据动能定理，对第个质点分别有：n,，，21nnkPkQQPniinQPnkPkQQPniiQPkPkQQPniiQPEErdfrdFEErdfrdFEErdfrdF12221112211Manufacture:ZhuQiaoZhong24第3章功和能)()(nikPkQQPnjniijQPniinnEErdfrdF11111质点系动能定理kPkQAAAA内外考虑到非保内PPPQ非保内保内内AEEAAA)(PQPPKPPQKQ非保内EEEEEEAA)()(外系统的功能原理：系统从一个状态变到另一个状态的过程中，其机械能的增量等于外力所作的功和系统的非保守内力所作功的代数和。Manufacture:ZhuQiaoZhong25第3章功和能二.机械能守恒定律)()(PPKPPQKQ非保内EEEE，AA则如果外0系统的机械能守恒推而广之，机械能守恒定律可以推广为能量守恒定律。能量守恒定律是自然界的基本定律之一。Manufacture:ZhuQiaoZhong26第3章功和能例3.6如图所示,摆长为l,摆锤质量为m,起始时摆与铅直线间的夹角为θ。在铅直线上距悬点x处有一小钉，摆可绕此小钉运动。问：x至少为多少才能使摆就钉子为中心绕完整的圆周？解：考虑单摆及地球的系统，由于只有重力作功，所以机械能守恒。取摆锤最低位置为零势能点。对初始位置和最高点，有：)(xlmgmvmgh2212由图示，知)()cos(xlgvllg2212摆锤到最高点时应作圆周运动，最小向心力等于重力，即：)(xlgvxlvmmg22•xl–xlhθManufacture:ZhuQiaoZhong27第3章功和能•xl–xlhθ以上关系式联解，得)()(