金融工程 (1)

金融工程FinancialEngineering凌爱凡[e-mail]第4章利率利率的种类：零息利率，平价利率……收益率曲线与债券定价远期利率协议与利率期限结构理论简介久期与凸性利率曲线的曲率4.1.利率的种类利率的含义:利率，就其表现形式来说，是指一定时期内利息额同借贷资本总额的比率。对利率的理解“古典学派”认为，利率是资本的价格，而资本的供给和需求决定利率的变化；凯恩斯则把利率看作是“使用货币的代价”。马克思认为，利率是剩余价值的一部分，是借贷资本家参与剩余价值分配的一种表现形式。利率通常由国家的中央银行控制，在美国由联邦储备委员会管理。现在，所有国家都把利率作为宏观经济调控的重要工具之一。当经济过热、通货膨胀上升时，便提高利率、收紧信贷；当过热的经济和通货膨胀得到控制时，便会把利率适当地调低。因此，利率是重要的基本经济因素之一。4.1.1.国债利率（Treasuryrates）投资者投资国库券或国债时所获的收益率，在各类衍生产品定价中，通常用此利率作为无风险利率4.1.2浮动利率（LIBOR）是指伦敦同业银行拆出利率，简单说，LIBOR是指某一个银行A给其他大银行B提供资金时所收取的利率，银行A需要资金的大银行B1B2…Bn借出资金LIBORLIBOR的期限：有1个月，3个月，6个月及1年，最长为1年，能够以LIBOR借款的银行：信用评级AA,反过来，也可以认为，AA级银行向其他银行短期借款的利率，即为LIBOR.注•LIBOR不完全等同于无风险利率，违约仍可能发生；•衍生产品交易员一般将LIBOR，而不是国债利率，作为无风险利率；LIBID:伦敦同业银行拆入利率,指某一银行同意其他银行以LIBID将资金存入自己的银行。区别LIBOR与LIBID，主要从请求借款或贷款的主动方考虑，如•银行A有资金剩余，该银行希望将资金存入银行B，这时，银行B将以LIBID接受A的存款；•如果银行A资金短缺，且具有AA级，他希望从银行B获得贷款，那么银行B将以LIBOR将资金贷给A。•LIBOR与LIBID也会受市场供求关系而发生变化•一般有LIBOR略大于LIBID4.1.3再回购利率（Reporates）再回购协议隔夜回购期限回购4.2.利率的度量引例：P52复利频率通常被作为利率度量的基本单位；一年复利一次的利率总可以转换成一个以不同频率复利的等价利率，如•一年复利一次利率10.25%相当于年利率10%情形下的半年复利一次利率。按季度复利一次与一年复利一次之间的不同，类似于长度单位的英里与公里的区别。4.2.1连续复利(Page53)Q:在上面的引例中，如果令复利计算频率趋于无穷，那么会是什么情形呢？假设将资金A投资n年，年利率为R,如果1年计算复利1次，那么，n年后终值为如果1年计算复利m次，那么，n年后终值为（4.1）连续复利利率：在上述（4.1）中，复利频率趋于无穷时，所对应的利率，称为为连续复利利率。按连续复利利率计算，n年后，资金A变为：Remark:连续复利与按天计算复利所得到资产终值相对接近；n年后的一笔资金B，按利率为R进行贴现，其现值为RnAe（4.2）RnBe连续复利与每年m次复利的转换公式假设是连续利率，是与之相对应的每年次复利率，则有即是cRmR从而可得例4.1P53例4.2P53RmRmRmecmmRmcln/11（4.3）（4.4）4.3.零息利率定义：n年的零息利率是指，今天投入资金，连续持有n年后，所得的收益率。特点：所有利息与本金在n年末一起支付给投资者，而在n年期满之前，不支付任何利息收益。n年期即期利率=n年期零息利率例：1年后到期的面值为1元的零息债券，当前的价值为0.95元，计算持有该债券的零息利率。4.4债券价格债券的理论价格等于债券持有人在将来所收取的所有现金流贴现后的总和。设现金流为,各个现金流的贴现利率分别为,这里i表示第i笔现金流，而表示收到该笔现金流的时间，则债券的理论价格为注：是年利率，的单位是年1,,nttCC(1,,)itrin1itiintrtiVCeitritit对债券的现金流贴现方式：所有现金流以同一个贴现率贴现，即上述体现公式中，满足不同现金流采用不同的贴现率贴现，(1,,)itrrin()ijttrrij例P54,表4.2期限(years)零息利率(%contcomp)0.55.01.05.81.56.42.06.8333103983900505005810006415006820eeee.........4.1债券的收益率债券的收益率等于对所有现金流贴现并使得债券的价格与市场价格相等的贴现率。设现金流为,债券的市场价格为P,那么债券的收益率y满足方程注：如果债券的贴现率为常数，且理论价格等于市场价格，那么债券的收益率与贴现率相等1,,nttCC1iintytiPCe例，在上例中，假设债券的市场价格等于理论价格为98.39，那么债券的收益率y满足下面方程：y=0.0676or6.76%.333103983905101520eeeeyyyy.....4.2平价收益率债券的平价收益率是债券价格等于面值时的债券票面利率（券息率），设债券面值为100，平价收益率为c,贴现利率假设为根据定义，债券的现金流为为每年支付利息的次数，每次支付利息(1,,)itrin100,1,,1itcCinm100100ntcCmm100cm再由平价收益率的定义，债券的理论价格等于面值，即于是或1100100itntinintrtrtiCee1100100100itntinntrtriceem11001100100(1)(1)ininnttittcmrr例P54，c是债券的票面利息，因此平价收益率为c%,仍然记为c,这样就有0.050.50.0581.00.0641.50.0682.01001002222687%()cccceeeec=.连续复利如果令c表示票面利息，平价收益率为c%,仍然记为c,则满足或1,itntinntrtriAede，100100cAdm(100100)dmcA4.5.国库券零利息率的确定票息剥离法：从一般的国债和国库券价格和收益为出发点来计算零息率。引例P55BondTimetoAnnualBondCashPrincipalMaturityCouponPrice(dollars)(years)(dollars)(dollars)1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6第一个债券：3个月期限，无券息收益：投资97.5$，收益2.5$，年收益率：•按季度复利计算为•按连续复利计算为第二个债券：6个月期限，无券息收益：投资94.9$，收益5.1$,年收益率：•按半年复利计算•按连续复利计算第三个债券：1年期限，无券息收益：投资90.0$，收益10$；年收益率：•按每年复利一次计算：10%•按1年期连续复利计算第四个债券：1.5年期限，有券息收益：投资96.0$•6个月：4$•12个月：4$•1.5年：104$年收益率R，根据定价方法，此债券的价格等于所有现金流的贴现：•6个月的现金流4$,应按6个月期限的年利率贴现•12个月的现金流4$，应按12个月期限的年利率贴现；•1.5年的现金流104$，应按1.5年期限的年利率R贴现；期限为1.5年的年利率R应满足如下方程：即得到R=0.10681或10.681%96104445.10.110536.05.010469.0Reee第五个债券：2年期限，有券息年收益率R：用类似于1.5年期的付息债券方法，可知，R应按如下方程计算：因此，可得2年期的债券，其年利率为R=0.10808,或10.808%表4.4：由表4-3数据所得出的连续复利利率（P56）910111200.511.522.5零息年利率(%)期限(年)10.12710.46910.53610.68110.808图4.1由息票剥离法得出的零息利率实践中的应用有时实践中并没有想要的某个期限的债券，那么相应的该期限的零息债券的年利率不能通过市场上债券的收益与价格来估计，而是用线性插值方法。例：P56，已知两个债券期限及相应的年利率如下：•2.3年期限，年利率为6%•2.7年期限，年利率6.5%•Q：2.5年期限，其年利率为多少？6.远期利率定义：由当前零息利率所蕴含出来的将来一定期限的利率。例子：P57n-yearForwardRatezeroratefornthYearYear(n)(%perannum)(%perannum)13.024.05.034.65.845.06.255.36.5根据上表，考虑以下几种情形：1.现在投资100元，1年后其值是多少？两年后其值又是多少？2.一年后投资100元，第二年末，其值是多少？结论：1.当利率按连续复利表达时，将相互连接的时间段上的利率结合在一起，整个时段的等价利率为各个时段利率的平均值。2.假设R1和R2分别是对应期限T1和T2的零息利率，那么在连续复利情形下，时间T1和T2之间的远期利率可表示为：121122TTTRTRRFFR(4.5)211122()FTTRRTRT例子：P57，在表4-5中，验证第3年到第4年之间的远期利率，这时T1=3,T2=4,R1=0.046,R2=0.05,则RF=0.062由（4.5），可得上式表明：1.如果零息利率曲线在T1,T2之间向上倾斜，即R2R1，则有RFR2，这表明远期利率比两个利率都大；2.相反，如果零息利率曲线在T1,T2之间向下倾斜，即R2R1，则有RFR2，这表明远期利率比两个利率都小；122121()FTRRRRTT（4.6）瞬时远期利率在（4.6）中，令T1=T,并让T2趋近于T，两边取极限，即得到称之为T时刻的瞬时远期利率，R为期限为T的年零息利率。这是表示在T时刻开始的一段很短时间内的远期利率。TRTRRF假设P(t,T)表示T时刻到期的零息债券在当前t时刻的价格，则或代入瞬时远期利率公式中，即有()(,)RTtPtTeln(,)PtTRTtln(,)FRPtTT0ln(0,)FtRPTT当时，即有7.远期利率协议（FRA）7.1定义：交易约定：在将来某一段时间，交易的一方以某一预先确定的利率借入或借出固定数量的资金，是一种场外交易产品。•例：假设公司X同意在未来的T1和T2之间将资金L借给公司Y，RK：FRA中约定的利率RF：由今天计算的介于时间T1和T2之间的LIBOR利率RM：在时间T1和T2之间的真正的LIBOR利率公司X的现金流：公司X在T1时刻，其资金L可以以无风险利率RM贷出，如果X进入FRA，则可以以利率RK把资金L借给公司Y,获得额外利率（RK–RM），在时刻T2，公司X的额外利率导致的现金流为（可能为负）：21()()KMLRRTT公司Y的现金流：与X的现金流方向相反，数量相等，即在T1时刻，公司Y本可以以无风险利率RM获得借款L，但当Y进入FRA后，需要以利率RK从X借入资金L，这样，在T2时刻，公司Y额外支付的利率（RM–Rk），导致的现金流为(可能为正）：21()()MKLRRTTFRA的交割时刻：一般在T1时刻可交割(why)交割时刻X的收益：将T2的现金流贴现到T1:交割时刻Y的收益：注：这里假设利率按复合频率计算，而不是连续复利方式例4-3P592121()()1()KMMLRRTTRTT2121()()1()MKMLRRTTRTT7.2FRA的价值在t=0时刻，如果FRA的执行利率为RK=RF，则这份FRA在t=0时刻的价值为0.考虑两个本金均为L的FRA，FRA1:承诺在T1和T2之间收益率为由L