大学高等数学第一节函数

例1判断下面函数是否相同,并说明理由.(1)1y与;cossin22xxy(2)12xy与12yx.解(1)虽然这两个函数的表现形式不同，但它们的定义域),(与对应法则均相同，所以这两个函数相同.(2)虽然它们的自变量与因变量所用的字母不同,但其定义域),(和对应法则均相同(如图)，所以这两个函数相同.例2设,21,210,1)(xxxf求函数)3(xf的定义域.解,21,210,1)(xxxf231,2130,1)3(xxxf12,223,1xx故函数)3(xf的定义域:].1,3[例3证明(1)函数12xxy在),(上是有界的.(2)函数21xy在)1,0(上是无界的.证(1)因为,0)1(2x所以,212xx故21122|1|)(22xxxxxf对一切),(x都成立.由上可知题设函数在),(上是有界函数.(2)对于无论怎样大的,0M总可在)1,0(内找到相应的.x例如取),1,0(110Mx使得MMMxxf1)11(11)(2200所以21)(xxf在)1,0(上是无界函数.例4设,,0,1)(是无理数时当是有理数时当xxxD求，)21(,57DD))((xDD.并讨论其性质.解,0)21(,1)57(DD,1))((xDD函数是单值、有界的，偶函数，但不是单调函数,是周期函数，但无最小正周期.例5若)(xf对其定义域上的一切,恒有),2()(xafxf则称)(xf对称于.ax证明:若)(xf对称于ax及),(babx则)(xf是以)(2abT为周期的周期函数.证由)(xf对称于ax及,bx则有),2()(xafxf(1)),2()(xbfxf(2)在式(2)中，把x换为,2xa得).(2[)]2(2[)2(abxfxabfxaf由式(1)),(2[)2()(abxfxafxf可见,)(xf以)(2abT为周期.例6某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分若干批进行生产,每批生产准备费为b元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为c元.显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高.为了选择最优批量,试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.解设批量为,x库存量与生产准备费的和为).(xP因年产量为,a所以每年生产的批数为xa(设其为整数)，则生产准备费为.xab因库存量为,2x故库存费为.2xc因此可得.22)(cxxabxcxabxP定义域为xa],,0((台数)只取定义域中的正整数因子.例7为研究某国标准普通信件(重量不超过50克)的邮资与时间的关系，得到如下数据：年份（年）19781981198419851987199119951997200120052008邮资（分）68101315202225293233试构建一个邮资作为时间函数的数学模型，在检验了这个模型是“合理”的之后，用这个模型来预测一下2012年的邮资.解（1）先将实际问题量化，确定自变量x和因变量y.为方便计算，设起始年1978年为0，并用x表示，用y（单位：分）表示相应年份的信件的邮资，得到下表x03679131719232730y68101315202225293233（2）作散点图，确定变量之间近似函数关系.得到下图观察得到的散点图可知，邮资与时间大致呈线性关系.设y与x之间的函数关系为baxy，其中ba,为待定常数.（3）求待定常数项ba,.通过Excel相关功能的计算分别得到ba,的值（详见附录Ⅰ）为898.5,9618.0ba.从而得到回归直线为xy9618.0898.5.（4）在散点图中添加上述回归直线xy9618.0898.5，见下图经观察发现直线模型xy9618.0898.5与散点图拟合的非常好，说明线性模型是合理的.（5）预测2012年的邮资，即x=34时y的取值.由拟合图可以得到x=34时39y.即预测2012年的邮资约为39分.实际上，将x=34代入直线方程xy9618.0898.5可得39y.■例8地高辛是用来治疗心脏病的.医生必须开出处方用药量使之能保持血液中地高辛的浓度高于有效水平而不超过安全用药水平.下表中给出了某个特定病人使用初始剂量0.5（毫克）的地高辛后不同时间x（天）的血液中剩余地高辛的含量.x012345678y0.50000.3450.2380.1640.1130.0780.0540.0370.026（1）试构建血液中地高辛含量和用药后天数间的近似函数关系；（2）预测12天后血液中的地高辛含量.解（1）根据所给数据作散点图.由该图可见，y与x之间大致呈指数函数关系，故设函数关系式为bxaey，其中ba,为待定常数.在上式两端取对数，得bxaylnln,令acyuln,ln，则指数函数bxaey转化为线性函数bxcu.利用题设数据表进一步计算得到下表.yulnx012345678y0.50000.3450.2380.1640.1130.0780.0540.0370.026yuln-0.693-1.064-1.435-1.808-2.180-2.55-2.919-3.297-3.650采用与例17类似的步骤，计算得到.371.0,695.0bc再由关系式acln,得5.0695.0ea,从而得到血液中地高辛含量和用药后天数间的近似函数关系为xey371.05.0.在散点图中添加上述回归曲线,可见该指数函数与散点图拟合得相当好,说明指数模型是合理的.（2）根据上述函数关系,12天后血液中地高辛的含量约为006.05.012371.0ey(毫克).