大尺度大气运动的吸引子分歧

大尺度大气运动的吸引子分歧刘春1，刘思波2，3，李秀梅4，冷礼冬1（1.四川省内江市气象局，内江641000；2.成都信息工程学院,成都610252；3.中国科学院大气物理研究所中层大气与全球环境探测实验室,北京100029；4.四川省眉山市气象局，眉山620020.）摘要：本文将从球坐标系大气方程入手，用动态分歧理论讨论无外源强迫的大尺度大气运动的分歧。关键词：半群算子；准地转模式；整体吸引子；Hausdorff维数引言大气运动方程是一个含参数的动力系统，如热力学参数、Rayleigh数、扩散系数。对于含参数的系统，当参数变动并经过某些临界值时，系统的定性性态，如平衡状态、周期运动的数目和稳定性等，会发生突然变化，这种变化称为分歧。在流体力学中，当Rayleigh数变化时，层流可能会转变为湍流。对于大气运动而言，分歧也是广泛存在的，比如，在冬季转入夏季时，热力强迫参数随季节变化，此时将出现两次副热带高压北跳现象。不仅如此，Lorenz的热对流三阶截断模型，揭示了倍周期分歧到混沌的过程，显示了分歧对于非线性过程的重要性。在天气学方面，分歧广泛应用于各类天气现象的模拟和分析。刘式达等用一个简单的含参数模型讨论了对流的分歧。李麦村、罗哲贤用一个考虑了加热和耗散的正压模式高阶截断模型，采用分歧方法研究了西风急流位置的变化机制。对于长期数值预报和气候理论涉及的大气系统的长期行为而言，更为关注的是大气系统的全局渐近行为。Temam和Wittwer[3-3]等考虑了Navier-Stokes方程的吸引子和稳态解的存在性，并给出了解空间的先验证估计。丑纪范、李建平、郭柏灵和黄海洋等考虑了大尺度大气、原始大气方程的吸引子的存在性。更进一步，对于这种行为对环境条件，即各类参数的依赖情况，这就需要考虑吸引子的分歧。马天讨论了二维Rayleigh-Benard对流的分歧，并给出了对流卷的拓扑结构。马天、汪守宏等应用吸引子分歧分析方法从数学理论证明了赤道大气层的Walker环流的存在性。本文将从球坐标系大气方程入手，用动态分歧理论讨论无外源强迫的大尺度大气运动的分歧。1大气运动方程组在无外源强迫和无地形条件下，大气层被视为一个环绕地球的球壳，引入一个与地球一起转动的活动标架(,,)p，[0,2]是地球的经度，[0,]是地球的余纬度，0[,]sppp是大气压力被用于替代空间点到地心的垂直距离变量r。sp是地面的大气压力，00p是大气层中某个等高压面的压力。在活动标架与时间一起构成的坐标系中，定义大气的状态函数：记(,)vvV为大气的水平速度，dpvdt为压强变化率，T为温度，为重力势。它们满足以下方程收稿日期：2013-10-16改回日期：2014-7-16资助项目：国家重点基础研究发展973计划项目(2012CB417202)，四川省气象局课题（川气课题2013—开发—09）作者简介：刘春（1981—），男，四川隆昌人，工程师，从事气候预测和气象服务工作，E-mail：[e-mail]动量方程2211cot()2cosgpwVtpapRTpVVVVVVV（1）流体静力学的变形方程0RTpp（2）不可压缩流体的连续性静态方程0wpV（3）热力性第一定律方程2222220()RTTRgpTTwwTctpppRTpV（4）其中是地球角速度；20c，pc是热力学参数；R为Rayleigh数；,,1,2iii，为扩散系数；0110；球面上微分算子grad、div和定义如下：11,sinaa(sin)11sinsinvvaaV222211sinsinsinaa220()dRTcg其中，a是地球半径。因为所研究的地球大气层的垂直尺度与地球半径相比是非常小的，所以在球面微分算子中通常用地球半径代替空间点到地心的距离r。以上方程定义在区域[0,]SM，0M，0[,]Sspp，[0,2][0,]上，所有函数关于以2为周期，关于以为周期。在无地形条件下的边界条件为，当0pp时，0vvTwppp（6）当spp时0Tvvwp（7）加上初始条件，方程（1）～（4）和（6）构成一个大气动态模型。2基本空间及算子方程由（3）和（5）式，解得1()sppRTsdss（8）1()sppRTsdss（9）21()ppwsdsV（10）因此，方程（1）、（2）、（4）是闭合的，为此下面将讨论该方程组。令023(,,)(())()0,(,,)sppHvvTLvsdsvvT满足初边值条件（11）0231(,,)(())()0,(,,)sppHvvTHvsdsvvT满足初边值条件（12）空间2()H定义如下：22()(),(),2HuuDuLD（13）其中，()D为广义函数空间。在范数1222uDu（14）下，Sobolev空间2()H是一个Hilbert空间。对于空间H和1H，有1HH。通过上述讨论，可以在Sobolev空间讨论大气运动方程组的一些性质。在1H上，可以建立如下的泛函方程：0()(0)dLGfdt（15）其中，222211,,)()dgAPvvTT222211,,()dvvggpgpgpTBPpTppTpTpTp20cot1()()()2cos(),cot1()()2cos(),()()()ssssssppppppppppppTGPsdsvvRTsdspasTsdsvvRTsdspassdscTTsdspRpVv+VVv+VVVV1:LABHH，1:GHH，210R，1(,,)vvTH，2:()PLH为Leray投影。这里Leray投影具有如下意义：0222()()()0()sppLuuLandvsdsuuL（16）为了使方程的各项均限制在H上，因此，在处理方程时使用了Leray投影。3吸引子的动态分歧对于无外源强迫的大气运动，考虑如下的非线性演化方程0()(0)dLGdt（17）首先，考虑定常的线性化方程221122211222222000vgpvRpTpvgpvRpTpgpTTRpTp（18）这是一个关于Rayleigh数R的特征值方程，而由上式的结构可以看出，特征值方程是对称的，因此其所有特征值(k1,2)k是实数，并且表示为120k（19）对于第一特征值1，记11cR，被称为临界Rayleigh数。为了考虑特征值问题()L（20）首先，考虑Laplace算子的特征值问题uu（21）由于是椭圆型共轭算子，由共轭算子的谱理论，特征值问题有一个无穷的实特征值序列：120k（22）而且对应的特征向量序列1,2kek构成一个10()H和2()L的公共正交基，因而对任意(,)uvH，u和v能够表达为11,kkkkkkuxevye（23）这样，A的所有特征值由下面三阶矩阵的特征值构成：112000000()kkkdgT（24）算子1:AHH是线性同胚且特征值具有正实部。1:BHH是一个线性紧算子，非线性算子是正交算子[1]，即1(),0,HGH（25）由对称算子特征值理论知，()L的所有特征值(k1,2,)k是实数，并满足12()()()lim()kkk（26）令第一特征值1()的重数为(1)mm，对第一特征函数1(,,)(1)iiiiefHim满足正交性。记0E为1()对应的特征向量空间101,1mkkkkERkm（27）由最小性质12222222211221222(,,)222222211222()()min()dvvTHdgvvTdxTvvTdxvvggpgpgpTdxTpTpTTpvvTdx（28）对应于1()在1的第一特征值向量1(,,)efH，满足12222222211122(,,)22222221122111()min()()()vvTHddgefdxTggpegpfgpdxTpTpTTpgpegTp22222()dgpfgpdxTpTTp（29）因此，有11110,0()0,00,0（30）1()0j（31）由于上述问题在H中存在一个全局吸引子[1]，因此，所有不变集在H中是一致有界的。假设在121cR处有一个不变集0BE，0B，那么B中元素都是原方程的线性部分L对应于11()0的特征向量。限制在0E上，特征方程有如下形式111()0dLdt（32）0(,,)vvTE。对于方程解(,,)vvTB，函数(,,)vvT(((t)),((t)),((t)))vvTB0E也是上述方程的解。即对任何实数1R，集合0BE也是原方程的一个不变集。这样，推出方程在1处有一个无界的不变集，这与原方程存在一个全局吸引子的结论矛盾。因此在121cR处的不变集B只能由(,,)0vvT构成。从而，可知当Rayleigh数大于或等于临界Rayleigh数时，其问题解(,,)0vvT是全局渐近稳定的[2]。由于1()的重数为m，记12(),()()m为L对应于1()的特征向量，可将空间1H分解为如下形式112HEE（33）其中112(),()()mEspan21,0,1iEuHuim由于L的全连续性，可知在1附近，算子可分解为LJ（34）11:JEE22:EE对应的，原方程可分解为12(G(,,))(G(,,))dJPdtdPdt（35）如果将中