金融工程学 第六章

2019/8/111第六章期权定价的数值方法——二叉树期权定价模型孙万贵西北大学经济管理学院2019/8/112前言布莱克—舒尔斯期权定价公式的局限性1.连续时间交易，模型复杂不易理解，缺乏直观；2.假设不存在交易费用和其它费用；3.只适用于欧式期权2019/8/113前言二叉树期权定价模型的优点1.适用于单期投资和多期投资问题；2.不仅适用于欧式期权的定价，也适用于美式期权的定价；3.适用于存在各种费用问题；4.易于理解2019/8/114前言参考文献1.BlackF.,ScholesM.,Thepricingofoptionsandcorporateliabilities,JournalofPoliticalEconomy,1973,81,637-6542.CoxJ.,HuangC.F.,RubinsteinM.,Optionalpricing:asimplifiedapproach,J.FinancialEconomics,1979,7,229-2632019/8/115问题——单期情况一只股票现价100元，一年后有两种可能，上涨到150元或下跌到50元。假设无风险利率25%（年单利）。又设一欧式看涨期权，期限一年，到期有权选择按执行价格100元获得一股该股票。试求此欧式看涨期权的价格。2019/8/116解法一:构造无风险组合15050100500c股票欧式看涨期权构造组合：一股股票和两份看涨期权空头50100-2c50因此，100-2c=50/(1+25%)=40所以，c=302019/8/117解法二：构造期权15050S=100500c股票欧式看涨期权构造组合：aS+b150a+rbaS+b因此，150a+rb=5050a+rb=0所以，a=1/2,b=-20c=aS+b=3050a+rb2019/8/118解法三：构造股票15050S=100500c股票欧式看涨期权构造组合：ac+b50a+rbac+b因此，50a+rb=150rb=50所以，a=?,b=?s=ac+brb2019/8/119单期一般情况uSdSScucdc股票欧式看涨期权构造组合：复制期权auS+rb=cuc=aS+badS+rb=cd2019/8/1110二叉树定价公式风险中性概率—其中pdudrpcppcrbaScruducdcbSdSuccadududu11,2019/8/1111风险中性概率风险中性概率—其中dudrpcppcrcdu11rSdSdudruSdudrdSppuS11uSdSSp1-p按风险中性概率，股票到期期望收益为rddudrududrdppu11或2019/8/1112例子75.05.05.05.025.1,0,50,25.1,5.0,5.1dudrpccrdudu可知15050S=100500c股票欧式看涨期权30025.05075.025.1111ducppcrc2019/8/1113多期二叉树模型—欧式期权S=50,K=50,u=1.05,d=0.95，004.112105.0er01月2月5052.547.555.1349.8845.13股票c2.505.13002019/8/1114续076.21154.0duduuuccppcrcdudrpc2.505.1300cucdc48.111ducppcrccuucudcdd2019/8/1115美式看涨期权—不提前执行5052.547.555.1349.8845.13股票C2.505.1300CuCdCCuuCudCdd48.1076.21154.0CCCppCrCdudrpduduuu2019/8/1116美式看跌期权—可能提前执行5052.547.555.1349.8845.13股票P02.500.124.87PuPdPPuuPudPdd296.2055.01154.0duduuuPPppPrPdudrp2019/8/1117美式看跌期权P0(0.055)2.5(2.296)00.124.8718.15.21055.0154.0pprPdudrp不提前执行提前执行2019/8/1118参数确定dudrperudeutrt012019/8/1119二叉树定价方法的应用停业决策和重新开业决策评估金矿WOE拥有金矿。WOE（交易代码）处在停产状态，但仍交易。WOE没有债务，流通股2000万，市场价值过亿美元。2019/8/1120WOE评估当前金价金价波动率半年期利率3.4%每盎司黄金开采成本开采期限100年开业成本200万停业成本100万期数200每期开采数量2.5万盎司35034.19.0111.13202115.0XrudeeuSt2019/8/1121停业决策和开业决策320355394437355288233320259288黄金价格二叉树u=1.11,d=0.902019/8/1122320355394355394437394355320288假设开业价410，停业价2902.5×(437-350)-2002.5×(394-350)2.5×(355-350)2.5×(320-350)-100黄金价格可能走势:上、上、下、上、上、下、下、下、下2019/8/1123价值估计987651.034100-350)-2.5(2881.034350)-2.5(3201.034350)-2.5(3551.034350)-2.5(3951.034200-350)-2.5(437所有路径下金矿的平均值称为当开业价410和停业价290时金矿的最优估计值。2019/8/1124价值估计开业价停业价金矿估价（亿）40046038037036042041014030029010019015029014.6714.5914.5814.5514.5014.4914.262019/8/1125小结在合适的情况下尽可能用Black-Scholes模型，因为它比二叉树简单。但在Black-Scholes模型束手无策的复杂情况下（如存在交易费用，美式期权等），二叉树模型大有用武之地。